Google
Câu hỏi: Trong không gian cho điểm \(O\) và bốn điểm \(A, B, C, D\) phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm \(A, B, C, D\) tạo thành một hình bình hành là:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \)
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \)
Phương pháp giải
\(ABCD\) là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \)
Lời giải chi tiết
Giả sử bốn điểm \(A, B, C, D\) tạo thành một hình bình hành ta có:
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} - \overrightarrow {OA} \) (với điểm O bất kì)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} + \overrightarrow {OB} \)
Ngược lại, giả sử ta có hệ thức:
\(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} + \overrightarrow {OB} \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} - \overrightarrow {OA} \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \)
Vì \(A, B, C, D\) không thẳng hàng nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
\(ABCD\) là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \)
Lời giải chi tiết
Giả sử bốn điểm \(A, B, C, D\) tạo thành một hình bình hành ta có:
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} - \overrightarrow {OA} \) (với điểm O bất kì)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} + \overrightarrow {OB} \)
Ngược lại, giả sử ta có hệ thức:
\(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} + \overrightarrow {OB} \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {O{\rm{D}}} - \overrightarrow {OA} \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \)
Vì \(A, B, C, D\) không thẳng hàng nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.