Google
Câu hỏi: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(2; 5)\) và cách đều hai điểm \(A(-1; 2)\) và \(B(5; 4)\).
Lời giải chi tiết
Gọi đường thẳng \(d\) cần tìm có phương trình dạng \(ax + by + c = 0\).
\(d\) đi qua \(M\left( {2; 5} \right)\) nên \(2a + 5b + c = 0\) \(\Leftrightarrow c = - 2a - 5b\).
Khi đó \(d:ax + by - 2a - 5b = 0\).
\(d\left( {A, d} \right) = d\left({B, d} \right)\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - a + 2b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {5a + 4b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\(\Leftrightarrow \left| { - 3a - 3b} \right| = \left| {3a - b} \right|\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3a - 3b = 3a - b\\ - 3a - 3b = - \left( {3a - b} \right)\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6a = - 2b\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a = - b\\b = 0\end{array} \right.\)
TH1: \(3a = - b\), chọn \(a = 1 \Rightarrow b = - 3\) ta có phương trình \(x - 3y + 13 = 0\).
TH2: \(b = 0\), chọn \(a = 1\) ta được phương trình \(x - 2 = 0\).
Vậy \({d_1}:x - 3y + 13 = 0\), \({d_2}:x - 2 = 0\).
Gọi đường thẳng \(d\) cần tìm có phương trình dạng \(ax + by + c = 0\).
\(d\) đi qua \(M\left( {2; 5} \right)\) nên \(2a + 5b + c = 0\) \(\Leftrightarrow c = - 2a - 5b\).
Khi đó \(d:ax + by - 2a - 5b = 0\).
\(d\left( {A, d} \right) = d\left({B, d} \right)\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - a + 2b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {5a + 4b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\(\Leftrightarrow \left| { - 3a - 3b} \right| = \left| {3a - b} \right|\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3a - 3b = 3a - b\\ - 3a - 3b = - \left( {3a - b} \right)\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6a = - 2b\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a = - b\\b = 0\end{array} \right.\)
TH1: \(3a = - b\), chọn \(a = 1 \Rightarrow b = - 3\) ta có phương trình \(x - 3y + 13 = 0\).
TH2: \(b = 0\), chọn \(a = 1\) ta được phương trình \(x - 2 = 0\).
Vậy \({d_1}:x - 3y + 13 = 0\), \({d_2}:x - 2 = 0\).