Google
Câu hỏi: Cho \(a\) và \(b\) là các số dương, chứng tỏ :
\(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} \ge 2\)
\(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} \ge 2\)
Phương pháp giải
- Áp dụng hẳng đẳng thức: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Lời giải chi tiết
+) Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \cr} \)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\) \((*)\)
+) Với \(\displaystyle a > 0,b > 0 \Rightarrow a.b > 0 \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)
Nhân hai vế của \((*)\) với \(\displaystyle{1 \over {ab}}\) ta có :
\(\eqalign{ & \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}} \cr & \Leftrightarrow {{{a^2}} \over {ab}} + {{{b^2}} \over {ab}} \ge 2 \cr & \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2 \cr} \)
- Áp dụng hẳng đẳng thức: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Lời giải chi tiết
+) Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \cr} \)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\) \((*)\)
+) Với \(\displaystyle a > 0,b > 0 \Rightarrow a.b > 0 \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)
Nhân hai vế của \((*)\) với \(\displaystyle{1 \over {ab}}\) ta có :
\(\eqalign{ & \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}} \cr & \Leftrightarrow {{{a^2}} \over {ab}} + {{{b^2}} \over {ab}} \ge 2 \cr & \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2 \cr} \)