Bài 26 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số)

Câu a

\((2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
(2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + m - 4 = 0 \hfill \cr 
2mx - x + m = 0 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{4 - m} \over 2} (1)\hfill \cr 
(2m - 1)x = - m (2)\hfill \cr} \right.\)
+ Với \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{4 - \frac{1}{2}}}{2} = \frac{7}{4}\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0x =  - \frac{1}{2}\left({VN} \right)\)
Do đó pt có nghiệm duy nhất \(x= \frac{7}{4}\).
+ Với \(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2}; x = {m \over {1 - 2m}}\).
Vậy,
\(m = \frac{1}{2}\) pt có nghiệm duy nhất \(x= \frac{7}{4}\).
\(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x_1 = {{4 - m} \over 2}; x_2 = {m \over {1 - 2m}}\).
(hai nghiệm này có thể bằng nhau)

Câu b

\(|mx + 2x – 1| = | x|\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|mx + 2x – 1| = | x|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx + 2x - 1 = x \hfill \cr 
mx + 2x - 1 = - x \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m + 1)x = 1 \hfill \cr 
(m + 3)x = 1 \hfill \cr} \right. (*)\)
Nếu \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 1\left({VN} \right)\\2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\)
Nếu \(m + 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = 1\\0x = 1\left({VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\)
Nếu \(m \ne  - 1, m \ne  - 3\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{m + 1}}\\x = \frac{1}{{m + 3}}\end{array} \right.\)
+ Với m = -1 phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\)
+ Với m = -3, phương trình có nghiệm \(x =  - {1 \over 2}\)
+ Với m ≠ -1 và m ≠ -3 thì phương trình có hai nghiệm: \(x = {1 \over {m + 1}}; x = {1 \over {m + 3}}\)

Câu c

\((mx + 1)\sqrt {x - 1}  = 0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≥ 1
Ta có:
\((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx + 1 = 0\\
\sqrt {x - 1} = 0
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx = - 1 \left(1 \right)\\
x = 1\left({TM} \right)
\end{array} \right.\)
+ Với m = 0 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0x =  - 1\left({VN} \right)\) nên phương trình có nghiệm x = 1
+ Với m ≠ 0  (1) ⇔ \(x =  - {1 \over m}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(\eqalign{
& - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow - {1 \over m} - 1 \ge 0\cr& \Leftrightarrow {{ - m - 1} \over m} \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \cr} \)
Do đó:
+ Với  -1 < m < 0  ;  \(S = {\rm{\{ }}1; - {1 \over m}{\rm{\} }}\)
+ Với
\(\left[ \matrix{
m \le -1 \hfill \cr 
m \ge 0 \hfill \cr} \right. ; S = {\rm{\{ }}1\} \)

Câu d

\({{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ 2
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2 \cr&\Rightarrow 2a - 1 = (a - 2)(x - 2) \cr 
& \Leftrightarrow (a - 2)x = 4a - 5 (1) \cr} \)
+ Với a = 2 thì S = Ø
+ Với a ≠ 2 thì \((1) \Leftrightarrow x = {{4a - 5} \over {a - 2}}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a - 5} \over {a - 2}} \ne 2\)
\(\Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\)
Vậy a = 2 hoặc \(a = {1 \over 2} ; S = \emptyset \)
a ≠ 2 và \(a \ne {1 \over 2}; S = {\rm{\{ }}{{4a - 5} \over {a - 2}}{\rm{\} }}\)

Câu e

\({{(m + 1)x + m - 2} \over {x + 3}} = m\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ -3
Phương trình đã cho tương đương với:
(m + 1)x+ m – 2= m(x + 3) ⇔ x = 2m + 2
x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ne  - 3 \Leftrightarrow m \ne  - {5 \over 2}\)
i) Với \(m \ne  - {5 \over 2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2
ii) Với \(m =  - {5 \over 2}\) thì phương trình vô nghiệm

Câu f

\(|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a\)
Lời giải chi tiết:
Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm
Với  a ≥ 0. Điều kiện: x ≠ 1
Ta có:
\(|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ax + 1} \over {x - 1}} = a \hfill \cr 
{{ax + 1} \over {x - 1}} = - a \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
ax + 1 = ax - a \hfill \cr 
ax + 1 = - ax + a \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1 (l) \hfill \cr 
2ax = a - 1 (1)\hfill \cr} \right.\)
Nếu \(a = 0\) thì \(0x =  - 1\left( {VN} \right)\) nên pt đã cho vô nghiệm
Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{a - 1}}{{2a}}\)
Kiểm tra ĐK: \(\frac{{a - 1}}{{2a}} \ne 1 \Leftrightarrow a - 1 \ne 2a\) \(\Leftrightarrow  - a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne  - 1\) (thỏa mãn do \(a > 0\)).
Vậy a = 0   ; S = Ø
\(a > 0; x = {{a - 1} \over {2a}} ; S = {\rm{\{ }}{{a - 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\)