Bài 25 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là tham số)

Câu a

\(|mx – x + 1| = |x + 2|\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|mx – x + 1| = |x + 2|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx - x + 1 = x + 2 \hfill \cr 
mx - x + 1 = - x - 2 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m - 2)x = 1 (1)\hfill \cr 
mx = - 3 (2)\hfill \cr} \right.\)
Với \(m = 2\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0x = 1\left({VN} \right)\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x =  - \dfrac{3}{2}\) nên \(S = \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\)
Với \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0x =  - 3\left({VN} \right)\)
Do đó \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
Với \(m \ne 0, m \ne 2\) thì \(PT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{m - 2}}\\x =  - \dfrac{3}{m}\end{array} \right.\)
Do đó, \(S = \left\{ {\dfrac{1}{{m - 2}}; - \dfrac{3}{m}} \right\}\)
Vậy,
+ Với m = 2; \(S = {\rm{\{  - }} \dfrac{3}{2} {\rm{\} }}\)
+ Với m = 0; \(S = {\rm{\{ }} - \dfrac{1}{2} {\rm{\} }}\)
+ Với m ≠ 0 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }} \dfrac{1}{m-2} ; -  \dfrac{3}{m} {\rm{\} }}\)

Câu b

\( \dfrac{a}{x-2} + \dfrac{1}{x-2a}  = 1\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ 2 và x ≠ 2a
Ta có:
\(\eqalign{
& {a \over {x - 2}} + {1 \over {x - 2a}} = 1 \cr&\Rightarrow a(x - 2a) + x - 2 = (x - 2)(x - 2a) \cr 
& \Leftrightarrow ax - 2{a^2} + x - 2 = {x^2} - 2x - 2ax + 4a \cr&\Leftrightarrow {x^2} - 3ax - 3x + 2{a^2} + 4a + 2 = 0  \cr& \Leftrightarrow {x^2} - 3\left({a + 1} \right)x + 2\left({{a^2} + 2a + 1} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow {x^2} - 3(a + 1)x + 2{(a + 1)^2} = 0 \cr} \)
Δ = 9(a + 1)2​ – 8(a + 1)2​ = (a + 1)2​
Phương trình có hai nghiệm là:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} = {{3(a + 1) + a + 1} \over 2} = 2a + 2 \hfill \cr 
{x_2} = {{3(a + 1) - (a + 1)} \over 2} = a + 1 \hfill \cr} \right.\)
Kiểm tra điều kiện:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_1} \ne 2 \hfill \cr 
{x_1} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + 2 \ne 2 \hfill \cr 
2a + 2 \ne 2a \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ne 0 \hfill \cr 
2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 0 \cr } \)
Do đó, với \(a = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2\left( {KTM} \right)\\{x_2} = 1\left({TM} \right)\end{array} \right.\) hay pt có nghiệm duy nhất \(x = 1\).
\(\eqalign{
&  \left\{ \matrix{
{x_2} \ne 2 \hfill \cr 
{x_2} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + 1 \ne 2 \hfill \cr 
a + 1 \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 1 \cr} \)
Do đó, với \(a = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 4\left( {TM} \right)\\{x_2} = 2\left({KTM} \right)\end{array} \right.\) hay pt có nghiệm duy nhất \(x = 4\).
Vậy: a = 0 thì S = {1}
a = 1 thì S = {4}
a ≠ 0 và a ≠ 1 thì S = {2a + 2; a + 1}

Câu c

\({{mx - m - 3} \over {x + 1}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ -1 thì phương trình tương đương với:
mx – m – 3 = x + 1 ⇔ (m – 1)x = m + 4    (1)
+ Nếu m = 1 thì 0x = 5 phương trình vô nghiệm
+ Nếu m ≠ 1 thì (1) có nghiệm \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\)
\(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\) là nghiệm của phương trình đã cho
\(\Leftrightarrow {{m + 4} \over {m - 1}} \ne  - 1\)\(\Leftrightarrow m + 4 \ne  - m + 1 \)
\(\Leftrightarrow m \ne  - {3 \over 2}\)
Vậy:
\(\eqalign{
& i)\left\{ \matrix{
m \ne - {3 \over 2} \hfill \cr 
m \ne 1 \hfill \cr} \right. : S = {\rm{\{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}{\rm{\} }} \cr 
& ii)\left[ \matrix{
m = - {3 \over 2} \hfill \cr 
m = 1 \hfill \cr} \right. : S = \emptyset \cr} \)

Câu d

\({{3x + k} \over {x - 3}} = {{x - k} \over {x + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠  ±3
Ta có:
\(\eqalign{
& {{3x + k} \over {x - 3}} = {{x - k} \over {x + 3}} \cr&\Rightarrow (3x + k)(x + 3) = (x - k)(x - 3) \cr 
& \Leftrightarrow 3{x^2} + kx + 9x + 3k = {x^2} - kx - 3x + 3k \cr&\Leftrightarrow 2{x^2} + 2kx + 12x = 0 \cr&\Leftrightarrow 2{x^2} + 2\left({k + 6} \right)x = 0\cr&\Leftrightarrow {x^2} + (k + 6)x = 0 \cr& \Leftrightarrow x\left({x + k + 6} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 (\text{thỏa mãn}) \hfill \cr 
x = - k - 6 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Kiểm tra điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
x \ne 3 \hfill \cr 
x \ne - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- k - 6 \ne 3 \hfill \cr 
- k - 6 \ne - 3 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k \ne - 9 \hfill \cr 
k \ne - 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy: k = -3 hoặc k = -9 thì S = {0}
k ≠ -3 và k ≠ -9 thì S = {0, -k-6}