Google
Câu hỏi: Dây cung của elip (E): \(\displaystyle {{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 (0 < b < a)\) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:
A. \(\displaystyle {{2{c^2}} \over a}\)
B. \(\displaystyle {{2{b^2}} \over a}\)
C. \(\displaystyle {{2{a^2}} \over c}\)
D. \(\displaystyle {{{a^2}} \over c}\)
A. \(\displaystyle {{2{c^2}} \over a}\)
B. \(\displaystyle {{2{b^2}} \over a}\)
C. \(\displaystyle {{2{a^2}} \over c}\)
D. \(\displaystyle {{{a^2}} \over c}\)
Lời giải chi tiết
Gọi đường thẳng \(Δ\) đi qua tiêu điểm \(F_2(c; 0)\) của elip (E) và vuông góc với trục lớn.
Khi đó \(\Delta //Oy\) và \({F_2}\left( {c; 0} \right) \in \Delta \) nên \(\Delta :x - c = 0\)
\(Δ\) cắt \((E)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
1 - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
{y^2} = \dfrac{{{b^4}}}{{{a^2}}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
y = \pm \dfrac{{{b^2}}}{a}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow M\left({c;\dfrac{{{b^2}}}{a}} \right), N\left({c; - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right)
\end{array}\)
\(\Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {c - c} \right)}^2} + {{\left({ - \dfrac{{{b^2}}}{a} - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right)}^2}} \) \(= \sqrt {0 + \dfrac{{4{b^4}}}{{{a^2}}}} = \dfrac{{2{b^2}}}{a}\)
Vậy độ dài dây cung của \((E)\) là độ dài đoạn thẳng \(MN = {{2{b^2}} \over a}\).
Gọi đường thẳng \(Δ\) đi qua tiêu điểm \(F_2(c; 0)\) của elip (E) và vuông góc với trục lớn.
Khi đó \(\Delta //Oy\) và \({F_2}\left( {c; 0} \right) \in \Delta \) nên \(\Delta :x - c = 0\)
\(Δ\) cắt \((E)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
1 - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
\dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
{y^2} = \dfrac{{{b^4}}}{{{a^2}}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c\\
y = \pm \dfrac{{{b^2}}}{a}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow M\left({c;\dfrac{{{b^2}}}{a}} \right), N\left({c; - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right)
\end{array}\)
\(\Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {c - c} \right)}^2} + {{\left({ - \dfrac{{{b^2}}}{a} - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right)}^2}} \) \(= \sqrt {0 + \dfrac{{4{b^4}}}{{{a^2}}}} = \dfrac{{2{b^2}}}{a}\)
Vậy độ dài dây cung của \((E)\) là độ dài đoạn thẳng \(MN = {{2{b^2}} \over a}\).
Đáp án B.