Google
Câu hỏi: Cho ngũ giác \(ABCDE\). Gọi \(M, N, P, Q, R\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPE\) và \(NQR\) có cùng trọng tâm.
Lời giải chi tiết
Với điểm \(G\) bất kì ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GE} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB}) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD}) + \overrightarrow {GE} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE}) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GA}) \cr
& = \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GR} \cr} \)
Do đó, nếu G là trọng tâm tam giác MPE thì \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GE} = \overrightarrow 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra trọng tâm hai tam giác \(MPE\) và \(NQR\) trùng nhau.
Với điểm \(G\) bất kì ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GE} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB}) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD}) + \overrightarrow {GE} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE}) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GA}) \cr
& = \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GR} \cr} \)
Do đó, nếu G là trọng tâm tam giác MPE thì \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GE} = \overrightarrow 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra trọng tâm hai tam giác \(MPE\) và \(NQR\) trùng nhau.