Google
Câu hỏi: Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(O.\) Chứng minh rằng \(OM.OC = ON.OB\).
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
Vì \(M, N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AC\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
Do đó \(MN// BC\).
Ta có \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(O\).
Xét \(∆ OBC\) có \(MN // BC\) (cmt)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle{{OM} \over {ON}}= {{OB} \over {OC}} \)
\( \Rightarrow OM.OC = ON.OB\) (đpcm).
Sử dụng:
- Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
Vì \(M, N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AC\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
Do đó \(MN// BC\).
Ta có \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(O\).
Xét \(∆ OBC\) có \(MN // BC\) (cmt)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle{{OM} \over {ON}}= {{OB} \over {OC}} \)
\( \Rightarrow OM.OC = ON.OB\) (đpcm).