Google
Câu hỏi: Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:
\({(\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \);
\({(\overrightarrow a - \overrightarrow b)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \);
\((\overrightarrow a + \overrightarrow b)(\overrightarrow a - \overrightarrow b) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\);
\({(\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \);
\({(\overrightarrow a - \overrightarrow b)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \);
\((\overrightarrow a + \overrightarrow b)(\overrightarrow a - \overrightarrow b) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\);
Phương pháp giải
Thực hiện nhân các tổng, hiệu véc tơ với nhau và sử dụng chú ý \({\overrightarrow a ^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \({(\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2} = (\overrightarrow a + \overrightarrow b).(\overrightarrow a + \overrightarrow b)\)\(= \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\({\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = \left({\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\left({\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\) \(= \overrightarrow a .\overrightarrow a - \overrightarrow b .\overrightarrow a - \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\).
\((\overrightarrow a + \overrightarrow b)(\overrightarrow a - \overrightarrow b)\)\(= \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow a - \overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)
Thực hiện nhân các tổng, hiệu véc tơ với nhau và sử dụng chú ý \({\overrightarrow a ^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \({(\overrightarrow a + \overrightarrow b)^2} = (\overrightarrow a + \overrightarrow b).(\overrightarrow a + \overrightarrow b)\)\(= \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\({\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = \left({\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\left({\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\) \(= \overrightarrow a .\overrightarrow a - \overrightarrow b .\overrightarrow a - \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\).
\((\overrightarrow a + \overrightarrow b)(\overrightarrow a - \overrightarrow b)\)\(= \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow a - \overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)