Google
Câu hỏi: Giải phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.
Phương pháp giải
- Tìm ĐK để pt có hai nghiệm.
- Bình phương hệ thức bài cho biến đổi đưa về áp dụng Viet tìm m.
Lời giải chi tiết
Ta có:
Δ = (4m + 1)2 – 8(m – 4)
\(= 16{m^2} + 8m + 1 - 8m + 32\)
= 16m2 + 33 > 0; ∀m
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x1 + x2 = - 4m – 1; x1x2 = 2(m – 4) (x1 > x2)
Ta có:
x1 – x2 = 17 ⇔ (x1 – x2)2 = 289
⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 289
⇔ (4m + 1)2 – 8(m – 4) = 289
⇔ 16m2 + 33 = 289
⇔ m = ± 4
+) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:
\(\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \)
+) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:
\(\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \)
Cách khác:
Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 4m - 1 \pm \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2}\)
Hiệu hai nghiệm bằng 17 nên:
\(\begin{array}{l}
\frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} - \frac{{ - 4m - 1 - \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} + 4m + 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \sqrt {16{m^2} + 33} = 17\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 33 = 289\\
\Leftrightarrow 16{m^2} = 256\\
\Leftrightarrow m = \pm 4
\end{array}\)
- Tìm ĐK để pt có hai nghiệm.
- Bình phương hệ thức bài cho biến đổi đưa về áp dụng Viet tìm m.
Lời giải chi tiết
Ta có:
Δ = (4m + 1)2 – 8(m – 4)
\(= 16{m^2} + 8m + 1 - 8m + 32\)
= 16m2 + 33 > 0; ∀m
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x1 + x2 = - 4m – 1; x1x2 = 2(m – 4) (x1 > x2)
Ta có:
x1 – x2 = 17 ⇔ (x1 – x2)2 = 289
⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 289
⇔ (4m + 1)2 – 8(m – 4) = 289
⇔ 16m2 + 33 = 289
⇔ m = ± 4
+) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:
\(\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \)
+) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:
\(\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \)
Cách khác:
Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 4m - 1 \pm \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2}\)
Hiệu hai nghiệm bằng 17 nên:
\(\begin{array}{l}
\frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} - \frac{{ - 4m - 1 - \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} + 4m + 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \sqrt {16{m^2} + 33} = 17\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 33 = 289\\
\Leftrightarrow 16{m^2} = 256\\
\Leftrightarrow m = \pm 4
\end{array}\)