Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Câu a​

\(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2; 3} \right]\);
Lời giải chi tiết:
\(D = \left[ { - 2; 3} \right]\)
\(f'\left( x \right) = 2x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  x=- 1 \in \left[ { - 2; 3} \right]\)
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) =  - 5; f\left({ - 1} \right) =  - 6;\) \(f\left( 3 \right) = 10\).
Vậy: \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2; 3} \right]}  =  - 6;\mathop {\max f\left(x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2; 3} \right]} \).
Cách khác:
Hàm số f(x)= x2​ + 2x – 5
Tập xác định D = R.
Đạo hàm y’= 2x +2 = 0 ⇔ x = - 1
Bảng biến thiên:

Vậy: \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2; 3} \right]}  =  - 6;\mathop {\max f\left(x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2; 3} \right]} \).

Câu b​

\(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4; 0} \right]\);
Lời giải chi tiết:
\(D = \left[ { - 4; 0} \right]\)
\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \in \left[ { - 4; 0} \right] \hfill \cr 
x = - 3 \in \left[ { - 4; 0} \right] \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(f\left( { - 4} \right) =  - {{16} \over 3}; f\left({ - 1} \right) =  - {{16} \over 3};\) \(f\left( { - 3} \right) =  - 4; f\left(0 \right) =  - 4\)
Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4; 0} \right]}  =  - {{16} \over 3};\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4; 0} \right]}  =  - 4\).

Câu c​

\(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\);
Lời giải chi tiết:
\(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
\(f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\) với mọi \(x \ne 0\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)
\(x=1\in \left( {0; + \infty } \right.)\)
\(x=-1\not\in \left( {0; + \infty } \right.)\)

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right) = f\left(1 \right)}\limits_{x \in \left({0; + \infty } \right)}  = 2\).
Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Câu d​

\(f\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2; 4} \right]\);
Lời giải chi tiết:
\(D = \left[ {2; 4} \right]\)
\(f'\left( x \right) =  - 2x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2; 4} \right]\)
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4; f\left(4 \right) =  - 4\)
Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2; 4} \right]}  =  - 4;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2; 4} \right]}  = 4\).

Câu e​

\(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0; 1} \right]\);
Lời giải chi tiết:
\(D = \left[ {0; 1} \right]\)
\(f'\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left({x + 2} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \notin \left[ {0; 1} \right] \hfill \cr 
x = - 3 \notin \left[ {0; 1} \right] \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2; f\left(1 \right) = {{11} \over 3}\)
Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0; 1} \right]}  = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0; 1} \right]}  = {{11} \over 3}\)
Cách khác:
Bảng biến thiên:

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0; 1} \right]}  = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0; 1} \right]}  = {{11} \over 3}\)

Câu f​

\(f\left( x \right) = x - {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; 2} \right]\);
Lời giải chi tiết:
\(D = \left( {0; 2} \right]\)
\(f'\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0; 2} \right]\)
\(f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)

Vậy \(\mathop { \max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0; 2} \right]}  = {3 \over 2}\) .
Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; 2} \right]\).