Bài 16 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải và biện luận các phương trình sau (m và k là tham số)

Câu a

(m - 1)x2​ + 7x - 12 = 0
Phương pháp giải:
- Xét m-1=0
- Xét \(m-1\ne 0\) và biện luận theo các trường hợp của \(\Delta \).
Lời giải chi tiết:
(m - 1)x2​ + 7x - 12 = 0
- Với m = 1, phương trình trở thành: \(7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\)
- Với m ≠ 1, ta có: Δ = 72​ + 48(m – 1) = 48m + 1
+  \(Δ < 0 ⇔m <  - {1 \over {48}}\)  phương trình vô nghiệm
+ \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m >  - {1 \over {48}}\)  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1,2} = {{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2(m - 1)}}\)
+ \(\Delta = 0 \Leftrightarrow m =  - {1 \over {48}}\)  thì phương trình có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{7}{{2.\left( {m - 1} \right)}} \)\(=  - \frac{7}{{2\left( { - \frac{1}{{48}} - 1} \right)}} = \frac{{24}}{7}\)
Vậy,
\(m = 1\) thì pt có nghiệm \(x =  - \frac{{12}}{7}\)
\(m <  - \frac{1}{{48}}\) thì pt vô nghiệm
\(- \frac{1}{{48}} < m \ne 1\) thì pt có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} }}{{2\left( {m - 1} \right)}}\)
\(m =  - {1 \over {48}}\) thì pt có nghiệm kép \(x=\frac{{24}}{7}\)

Câu b

mx2​ - 2(m + 3)x + m + 1 = 0
Phương pháp giải:
- Xét m=0
- Xét \(m\ne 0\) và biện luận theo các trường hợp của \(\Delta' \).
Lời giải chi tiết:
mx2​ - 2(m + 3)x + m + 1 = 0
+ Với m = 0, phương trình trở thành: \(- 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\)
+ Với m ≠ 0. Ta có: Δ' = (m + 3)2​ – m(m + 1) = 5m + 9
\(\Delta'  < 0 \Leftrightarrow m <  - {9 \over 5}\) phương trình vô nghiệm
\(\Delta'  > 0 \Leftrightarrow m>  - {9 \over 5}\) , phương trình có hai nghiệm: \(x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\)
\(\Delta'  = 0 \Leftrightarrow m =  - {9 \over 5}\) phương trình có nghiệm kép \(x =  - \frac{{b'}}{a} =  - \frac{{ - \left( {m + 3} \right)}}{m} \)\(= \frac{{ - \frac{9}{5} + 3}}{{ - \frac{9}{5}}} =  - \frac{2}{3}\)
Vậy,
Với m = 0, phương trình có nghiệm \(  x = {1 \over 6}\)
Với \(m <  - {9 \over 5}\) phương trình vô nghiệm
Với \(0\ne m >  - {9 \over 5}\) , phương trình có hai nghiệm: \(x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\)
Với \(m =  - {9 \over 5}\) phương trình có nghiệm kép \(x=  - \frac{2}{3}\)

Câu c

[(k + 1)x - 1](x - 1) = 0
Phương pháp giải:
Phương trình tích
\(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left[ {\left({k + 1} \right)x - 1} \right]\left({x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left({k + 1} \right)x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left({k + 1} \right)x = 1 (1)\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
+ Nếu k = -1 thì (1) là \(0x = 1\) (vô lí) nên (1) vô nghiệm.
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1
+ Nếu k ≠ -1 thì (1) có nghiệm \(x = {1 \over {k + 1}}\)
Ta có: \({1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k + 1 = 1\Leftrightarrow k = 0\) .
Do đó:
i) k = 0; S = {1}
ii) k ≠ 0 và k ≠ -1: \(S = {\rm{\{ }}1, {1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\)
iii) k = -1: S = {1}

Câu d

(mx - 2)(2mx - x + 1) = 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\((mx - 2)(2mx - x + 1) = 0 \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 2 = 0\\
2mx - x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 2 = 0\\
\left({2m - 1} \right)x + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx = 2 \hfill \cr 
(2m - 1)x = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Nếu m=0 thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 2\left({VN} \right)\\ - x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Nếu \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x = 2\\0x =  - 1\left({VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\)
Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne \frac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{m}\\x =  - \frac{1}{{2m - 1}}\end{array} \right.\)
Ta có: \(\frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} \Leftrightarrow 2\left( {1 - 2m} \right) = m\) \(\Leftrightarrow 2 - 4m = m \Leftrightarrow 2 = 5m\) \(\Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow x = \frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} = 5\)
Vậy,
+ Nếu m = 0 thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 1
+ Nếu m = \({1 \over 2}\) thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 4
+ Nếu \(m = \frac{2}{5}\) thì pt có nghiệm duy nhất \(x = 5\)
+ Nếu m ≠ 0, m ≠ \({1 \over 2}\) và \(m \ne \frac{2}{5}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \(x_1 = {2 \over m}; x_2 = {1 \over {1 - 2m}}\)