Google
Câu hỏi: Một tam giác có chiều cao bằng \(\dfrac{3}{4}\) cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm \(3dm\) và cạnh đáy giảm đi \(2dm\) thì diện tích của hình đó tăng thêm \(12d{m^2}.\) Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó.
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
+) Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là \(x\left( {dm} \right)\) và \(y\left( {dm} \right)\)\(\left( {y > x ; x,y > 0} \right).\)
Ta có diện tích tam giác bằng \(\dfrac{1}{2}xy\)
Vì chiều cao bằng \(\dfrac{3}{4}\) cạnh đáy nên ta có phương trình: \(x = \dfrac{3}{4}y\)
Nếu chiều cao tăng thêm \(3dm\) và cạnh đáy giảm đi \(2dm\) thì diện tích của hình tam giác mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right)\) (với \(y>2)\) và diện tích mới này tăng \(12dm^2\) so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = \dfrac{1}{2}xy + 12\)
Từ đó, ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{gathered}x = \frac{3}{4}y \hfill \\\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right).\left( {y - 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\\end{gathered} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\\frac{1}{2}\left( {xy - 2x + 3y - 6} \right) = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\\end{gathered} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\\frac{1}{2}xy - x + \frac{3}{2}y - 3 = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\ x - \frac{3}{2}y = - 15 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{3}{4}y = 15 \hfill \\ x - \frac{3}{2}y = - 15 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 20 \hfill \\ x - \frac{3}{2}.20 = - 15 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 15 (thỏa mãn) \hfill \\ y = 20 (thỏa mãn)\hfill \\\end{gathered} \right.\)
Vậy chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là \(15dm ; 20dm.\)
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
+) Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là \(x\left( {dm} \right)\) và \(y\left( {dm} \right)\)\(\left( {y > x ; x,y > 0} \right).\)
Ta có diện tích tam giác bằng \(\dfrac{1}{2}xy\)
Vì chiều cao bằng \(\dfrac{3}{4}\) cạnh đáy nên ta có phương trình: \(x = \dfrac{3}{4}y\)
Nếu chiều cao tăng thêm \(3dm\) và cạnh đáy giảm đi \(2dm\) thì diện tích của hình tam giác mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right)\) (với \(y>2)\) và diện tích mới này tăng \(12dm^2\) so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = \dfrac{1}{2}xy + 12\)
Từ đó, ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{gathered}x = \frac{3}{4}y \hfill \\\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right).\left( {y - 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\\end{gathered} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\\frac{1}{2}\left( {xy - 2x + 3y - 6} \right) = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\\end{gathered} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\\frac{1}{2}xy - x + \frac{3}{2}y - 3 = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\ x - \frac{3}{2}y = - 15 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{3}{4}y = 15 \hfill \\ x - \frac{3}{2}y = - 15 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 20 \hfill \\ x - \frac{3}{2}.20 = - 15 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 15 (thỏa mãn) \hfill \\ y = 20 (thỏa mãn)\hfill \\\end{gathered} \right.\)
Vậy chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là \(15dm ; 20dm.\)