Google
Câu hỏi: Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\) và một dây \(CD\). Qua \(C\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(CD\), cắt \(AB\) tại \(I\). Các tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) của nửa đường tròn cắt đường thẳng \(CD\) theo thứ tự tại \(E\) và \(F\). Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác \(AECI\) và \(BFCI\) nội tiếp được;
b) Tam giác \(IEF\) vuông.
a) Các tứ giác \(AECI\) và \(BFCI\) nội tiếp được;
b) Tam giác \(IEF\) vuông.
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng \(180^o\) thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a)
Tứ giác \(AECI\) có \(\widehat {EAI} + \widehat {ECI} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) do đó tứ giác \(AECI\) nội tiếp được.
Tứ giác \(BFCI\) có \(\widehat {FCI} + \widehat {IBF} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) do đó tứ giác \(BFCI\) nội tiếp được.
b) Xét \(\Delta IEF \) và \(\Delta CAB\) có:
\(\widehat {{E_1}} = \widehat {{A_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CI\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AECI\))
\(\widehat {{F_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CI\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFCI\))
\( \Rightarrow \Delta IEF \backsim \Delta CAB\) (g.g).
\( \Rightarrow \widehat {EIF} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng).
Ta lại có \(\widehat {ACB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\(\Rightarrow \widehat {EIF} = {90^o}\).
Vậy tam giác \(IEF\) vuông tại \(I\).
Sử dụng:
- Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng \(180^o\) thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a)
Tứ giác \(AECI\) có \(\widehat {EAI} + \widehat {ECI} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) do đó tứ giác \(AECI\) nội tiếp được.
Tứ giác \(BFCI\) có \(\widehat {FCI} + \widehat {IBF} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) do đó tứ giác \(BFCI\) nội tiếp được.
b) Xét \(\Delta IEF \) và \(\Delta CAB\) có:
\(\widehat {{E_1}} = \widehat {{A_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CI\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AECI\))
\(\widehat {{F_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CI\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFCI\))
\( \Rightarrow \Delta IEF \backsim \Delta CAB\) (g.g).
\( \Rightarrow \widehat {EIF} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng).
Ta lại có \(\widehat {ACB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\(\Rightarrow \widehat {EIF} = {90^o}\).
Vậy tam giác \(IEF\) vuông tại \(I\).