Google
Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng:
\({d_1}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right. {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + t'\\z = - 3 + 2t'\end{array} \right.\)
a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng đó.
\({d_1}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right. {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + t'\\z = - 3 + 2t'\end{array} \right.\)
a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng đó.
Phương pháp giải
a) Chứng minh \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\), với \(\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} \) lần lượt là các VTCP của \({d_1};{d_2}\) và \({M_1} \in {d_1}; {M_2} \in {d_2}\).
b) Mặt phẳng chứa \({d_1};{d_2}\) đi qua \({M_1}\) và nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right]\) là 1 VTPT.
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng d1 đi qua điểm \(M_1(-1; 1; 3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_1}} = (3; 2; - 2)\)
Đường thẳng d2 đi qua điểm \(M_2\)\((0; 1; -3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_2}} = (1; 1; 2)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1; 0; -6)\)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\). \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\)
Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng hay hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.
Cách khác:
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3t = t'\\1 + 2t = 1 + t'\\3 - 2t = - 3 + 2t'\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - t' = 1\\2t - t' = 0\\ - 2t - 2t' = - 6\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 2\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \) Hệ có nghiệm duy nhất hay hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(A\left( {2; 3; 1} \right)\)
b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa d1 và d2.
Khi đó \((P)\) qua điểm \(M_1 (-1; 1; 3)\) và có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:
\(6(x + 1) - 8(y - 1) + (z - 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow 6x - 8y + z + 11 = 0\)
a) Chứng minh \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\), với \(\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} \) lần lượt là các VTCP của \({d_1};{d_2}\) và \({M_1} \in {d_1}; {M_2} \in {d_2}\).
b) Mặt phẳng chứa \({d_1};{d_2}\) đi qua \({M_1}\) và nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right]\) là 1 VTPT.
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng d1 đi qua điểm \(M_1(-1; 1; 3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_1}} = (3; 2; - 2)\)
Đường thẳng d2 đi qua điểm \(M_2\)\((0; 1; -3)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{a_2}} = (1; 1; 2)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1; 0; -6)\)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\). \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\)
Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng hay hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.
Cách khác:
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3t = t'\\1 + 2t = 1 + t'\\3 - 2t = - 3 + 2t'\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - t' = 1\\2t - t' = 0\\ - 2t - 2t' = - 6\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 2\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \) Hệ có nghiệm duy nhất hay hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(A\left( {2; 3; 1} \right)\)
b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa d1 và d2.
Khi đó \((P)\) qua điểm \(M_1 (-1; 1; 3)\) và có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:
\(6(x + 1) - 8(y - 1) + (z - 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow 6x - 8y + z + 11 = 0\)