Google
Câu hỏi: Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Trên đường chéo \(BD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\). Chứng minh:
a) \( \Delta ADE \backsim \Delta ACB,\)\( \Delta ABE \backsim \Delta ACD;\)
b) \( AD.BC + AB.CD = AC.BD.\)
a) \( \Delta ADE \backsim \Delta ACB,\)\( \Delta ABE \backsim \Delta ACD;\)
b) \( AD.BC + AB.CD = AC.BD.\)
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Các góc nội tiếp chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Xét \( \Delta ADE \) và \( \Delta ACB\) có:
\( \widehat {ADE} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AB\))
\(\widehat {DAE} = \widehat {CAB}\) (gt)
\( \Rightarrow \Delta ADE \backsim \Delta ACB\) (g.g)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE}\\
\widehat {CAD} = \widehat {DAE} + \widehat {CAE}
\end{array}\)
Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {DAE}\) (gt) nên \(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\)
Xét \(\Delta ABE \) và \( \Delta ACD\) có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AD\))
\( \Rightarrow \Delta ABE \backsim \Delta ACD\) (g.g).
b) Vì \(\Delta ADE \backsim \Delta ACB\) (câu a) suy ra \(\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{CB}}\)
\(\Rightarrow AD.CB = AC.DE\) (1)
Vì \(\Delta ABE \backsim \Delta ACD\) (câu a) suy ra \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CD}}\)
\(\Rightarrow AB.CD = AC.BE\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(AD.CB + AB.CD\)\( = AC.DE + AC.BE\)\( = AC.\left( {DE + BE} \right) = AC.BD.\)
Vậy \( AD.BC + AB.CD = AC.BD.\)
Sử dụng:
- Các góc nội tiếp chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Xét \( \Delta ADE \) và \( \Delta ACB\) có:
\( \widehat {ADE} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AB\))
\(\widehat {DAE} = \widehat {CAB}\) (gt)
\( \Rightarrow \Delta ADE \backsim \Delta ACB\) (g.g)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE}\\
\widehat {CAD} = \widehat {DAE} + \widehat {CAE}
\end{array}\)
Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {DAE}\) (gt) nên \(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\)
Xét \(\Delta ABE \) và \( \Delta ACD\) có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AD\))
\( \Rightarrow \Delta ABE \backsim \Delta ACD\) (g.g).
b) Vì \(\Delta ADE \backsim \Delta ACB\) (câu a) suy ra \(\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{CB}}\)
\(\Rightarrow AD.CB = AC.DE\) (1)
Vì \(\Delta ABE \backsim \Delta ACD\) (câu a) suy ra \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CD}}\)
\(\Rightarrow AB.CD = AC.BE\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(AD.CB + AB.CD\)\( = AC.DE + AC.BE\)\( = AC.\left( {DE + BE} \right) = AC.BD.\)
Vậy \( AD.BC + AB.CD = AC.BD.\)