Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)
Phương pháp giải
Chọn hai dãy số \(x_n=n2\pi\) và \({x_n} = \dfrac{\pi }{2} + n2\pi \), chứng minh hai dãy số trên có giới hạn khác nhau khi n tiến ra \(+ ∞\)
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f(x) = \cos x\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)
Chọn dãy số \((x_n)\) với \( x_n= n2 π\) (\(n\in {\mathbb N}^*\)).
Ta có: \(\lim x_n= \lim (n2 π) = +∞\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) = \lim \cos (n2\pi) = \lim 1 \) \(= 1\)
Chọn dãy số \((x_n)\) với \({x_n} = {\pi \over 2} + n2\pi (n \in {\mathbb N^*})\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \lim {x_n}({\pi \over 2} + n2\pi) = + \infty \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) \cr
& = \lim \left[ {\cos ({\pi \over 2} + n2\pi)} \right] = \lim 0 = 0 \cr} \)
Từ hai kết quả trên, suy ra hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)
Chọn hai dãy số \(x_n=n2\pi\) và \({x_n} = \dfrac{\pi }{2} + n2\pi \), chứng minh hai dãy số trên có giới hạn khác nhau khi n tiến ra \(+ ∞\)
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f(x) = \cos x\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)
Chọn dãy số \((x_n)\) với \( x_n= n2 π\) (\(n\in {\mathbb N}^*\)).
Ta có: \(\lim x_n= \lim (n2 π) = +∞\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) = \lim \cos (n2\pi) = \lim 1 \) \(= 1\)
Chọn dãy số \((x_n)\) với \({x_n} = {\pi \over 2} + n2\pi (n \in {\mathbb N^*})\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \lim {x_n}({\pi \over 2} + n2\pi) = + \infty \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) \cr
& = \lim \left[ {\cos ({\pi \over 2} + n2\pi)} \right] = \lim 0 = 0 \cr} \)
Từ hai kết quả trên, suy ra hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)