Câu hỏi: Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết
a) CMR "Phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó"
Giả sử là phép vị tự tâm O tỉ số biến đường thẳng thành đường thẳng .
Lấy và thì .
Ta có :
cùng phương với
+) Nếu k=1 và O ∈ a thì nên M trùng M', N trùng N' hay a trùng a'.
+) Nếu và O ∉ a thì M'N'//MN nên a'//a.
Do đó hai đường thẳng và song song hoặc trùng nhau.
b) CMR "Phép vị tự biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó"
Giả sử phép vị tự biến mặt phẳng thành mp .
- Nếu O ∈ (α) thì V(O, k) biến A ∈(α) thành A’ sao cho .
=> A'∈ OA hay A' ∈ mp(α) suy ra mp(α') = mp(α).
- Nếu k =1 thì V(O, 1)(A) = A’ hay ⇒ A ≡ A'
Vậy qua V(0, k) biến mp (α) thành mp(α') = mp(α).
- Nếu O ∈ mp(α) và k ≠ 1. Trên mp(α) lấy hai đường thẳng a, b cắt nhau tại I.
Qua phép vị tự tâm O tỉ số k :
+ Biến hai đường thẳng a, b thành 2 đường thẳng a’, b’ song song hoặc trùng với a, b
+ Biến giao điểm I thành điểm I’ là giao điểm của hai đường thẳng a’ và b’.
+ Biến mp (α) thành mp(α’) chứa hai đường thẳng a’và b’.
Suy ra, mp(α) // mp (α’).
a) CMR "Phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó"
Giả sử
Lấy
Ta có :
+) Nếu k=1 và O ∈ a thì
+) Nếu
Do đó hai đường thẳng
b) CMR "Phép vị tự biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó"
Giả sử phép vị tự
- Nếu O ∈ (α) thì V(O, k) biến A ∈(α) thành A’ sao cho
=> A'∈ OA hay A' ∈ mp(α) suy ra mp(α') = mp(α).
- Nếu k =1 thì V(O, 1)(A) = A’ hay
Vậy qua V(0, k) biến mp (α) thành mp(α') = mp(α).
- Nếu O ∈ mp(α) và k ≠ 1. Trên mp(α) lấy hai đường thẳng a, b cắt nhau tại I.
Qua phép vị tự tâm O tỉ số k :
+ Biến hai đường thẳng a, b thành 2 đường thẳng a’, b’ song song hoặc trùng với a, b
+ Biến giao điểm I thành điểm I’ là giao điểm của hai đường thẳng a’ và b’.
+ Biến mp (α) thành mp(α’) chứa hai đường thẳng a’và b’.
Suy ra, mp(α) // mp (α’).