Bài 10 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Không giải phương trình x2​ - 2x - 15 = 0, hãy tính:

Câu a

Tổng các bình phương hai nghiệm của nó.
Lời giải chi tiết:
Vì \(ac = -15 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Theo định lý Vi-ét, ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} = 2 \hfill \cr 
{x_1}{x_2} = {c \over a} = - 15 \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}\)
\(= {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} \)\(= {2^2} - 2( - 15) = 34\)

Câu b

Tổng các lập phương hai nghiệm của nó.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& x_1^3 + x_2^3 = ({x_1} + {x_2})(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}) \cr 
& = ({x_1} + {x_2}){\rm{[}}{({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr&= 2(4 - 3.(-15)) = 98 \cr} \)

Câu c

Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.
Hướng dẫn: \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng biến đổi \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\) và kết quả câu a.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(x_1^4 + x_2^4 = x_1^4 + x_2^4 + 2x_1^2x_2^2 - 2x_1^2x_2^2\)
\(= {(x_1^2 + x_2^2)^2} - 2(x_1x_2)^2\)
\(= {34^2} - 2( - 15)^2 = 706\)