Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn \((O;16cm)\) và \((O';9cm)\) tiếp xúc ngoài tại \(A\). Gọi \(BC\) là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn \((B\in (O), C\in (O'))\). Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(BC\) ở \(M\).
a) Tính góc \(OMO'\).
b) Tính độ dài \(BC\).
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\). Chứng minh rằng \(BC\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(I\), bán kính \(IM\).
a) Tính góc \(OMO'\).
b) Tính độ dài \(BC\).
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\). Chứng minh rằng \(BC\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(I\), bán kính \(IM\).
Phương pháp giải
Sử dụng:
* Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
* Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh bằng nửa cạnh huyền.
* Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Lời giải chi tiết
a) \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {AMB}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow \widehat {BMO} = \widehat {OMA} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB}\)
\(MO'\) là tia phân giác của \(\widehat {AMC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow \widehat {CMO'} = \widehat {O'MA} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMC}\)
Ta có: \(\widehat {OMO'} = \widehat {OMA} + \widehat {O'MA} \)
\( \Rightarrow \widehat {OMO'}= \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} + \dfrac{1}{2}\widehat {AMC} \)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {AMB} + \widehat {AMC}} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}{.180^o} = {90^o}\)
b) Xét \(\Delta OMO'\) vuông tại \(M\) ta có:
\(\begin{array}{l}
M{A^2} = OA.O'A = 16.9 = 144\\
\Rightarrow MA = \sqrt {144} = 12 \left( {cm} \right).
\end{array}\)
Lại có \(MA=MB=MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow MB = MC = 12 \left( {cm} \right).\)
\( \Rightarrow BC = MB + MC = 12 + 12 \)\( = 24 \left( {cm} \right).\)
c)
\(\left. \begin{array}{l}
OB \bot BC\\
O'C \bot BC
\end{array} \right\} \Rightarrow OB//O'C\)
Do đó tứ giác \(OBCO'\) là hình thang.
Có \(MB=MC;IA=IB\) nên \(IM\) là đường trung bình của hình thang \(OBCO'\). Do đó \(IM//OB//O'C\).
Mà \(OB\bot BC\) nên \(IM\bot BC\).
\(\Delta OMO'\) vuông tại \(M\) có \(IM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(IM = \dfrac{1}{2}OO'\).
Do đó \(IM\) là bán kính của đường tròn tâm \(I\) lại vuông góc với \(BC\) tại \(M\) nên \(BC\) là tiếp tuyến của \((I;IM)\).
Sử dụng:
* Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
* Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh bằng nửa cạnh huyền.
* Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Lời giải chi tiết
a) \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {AMB}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow \widehat {BMO} = \widehat {OMA} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB}\)
\(MO'\) là tia phân giác của \(\widehat {AMC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow \widehat {CMO'} = \widehat {O'MA} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMC}\)
Ta có: \(\widehat {OMO'} = \widehat {OMA} + \widehat {O'MA} \)
\( \Rightarrow \widehat {OMO'}= \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} + \dfrac{1}{2}\widehat {AMC} \)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {AMB} + \widehat {AMC}} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}{.180^o} = {90^o}\)
b) Xét \(\Delta OMO'\) vuông tại \(M\) ta có:
\(\begin{array}{l}
M{A^2} = OA.O'A = 16.9 = 144\\
\Rightarrow MA = \sqrt {144} = 12 \left( {cm} \right).
\end{array}\)
Lại có \(MA=MB=MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow MB = MC = 12 \left( {cm} \right).\)
\( \Rightarrow BC = MB + MC = 12 + 12 \)\( = 24 \left( {cm} \right).\)
c)
\(\left. \begin{array}{l}
OB \bot BC\\
O'C \bot BC
\end{array} \right\} \Rightarrow OB//O'C\)
Do đó tứ giác \(OBCO'\) là hình thang.
Có \(MB=MC;IA=IB\) nên \(IM\) là đường trung bình của hình thang \(OBCO'\). Do đó \(IM//OB//O'C\).
Mà \(OB\bot BC\) nên \(IM\bot BC\).
\(\Delta OMO'\) vuông tại \(M\) có \(IM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(IM = \dfrac{1}{2}OO'\).
Do đó \(IM\) là bán kính của đường tròn tâm \(I\) lại vuông góc với \(BC\) tại \(M\) nên \(BC\) là tiếp tuyến của \((I;IM)\).