Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).

Câu a​

Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \(M{A^2} - M{B^2} = 2.\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử M(x, y, z) ta có: \(M{A^2} - M{B^2} = 2.\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left({1 - x} \right)^2} + {\left({ - 1 - y} \right)^2} + {\left({2 - z} \right)^2} \cr &- {\left({2 - x} \right)^2} - {y^2} - {\left({1 - z} \right)^2} = 2 \cr 
& \Leftrightarrow 2x + 2y - 2z - 1 = 0. \cr} \)
Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng có phương trình \(2x + 2y - 2z - 1 = 0.\)

Câu b​

Tìm quỹ tích các điểm N sao cho \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử N(x, y, z) ta có: \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left({1 - x} \right)^2} + {\left({ - 1 - y} \right)^2} + {\left({2 - z} \right)^2} \cr &+ {\left({2 - x} \right)^2} + {y^2} + {\left({1 - z} \right)^2} = 3 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + y - 3z + 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left({x - {3 \over 2}} \right)^2} + {\left({y + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left({z - {3 \over 2}} \right)^2} = {3 \over 4}. \cr} \)
Vậy quỹ tích các điểm N là mặt cầu có tâm \(I\left( {{3 \over 2}; - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\), bán kính \({{\sqrt 3 } \over 2}.\)

Câu c​

Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (OAB) đi qua O, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 1; 3; 2} \right)\) nên có phương trình: \( - x + 3y + 2z = 0.\)
Mp(Oxy) có phương trình z = 0.
Điểm M(x, y, z) cách đều mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {{\left| { - x + 3y + 2z} \right|} \over {\sqrt {1 + 9 + 4} }} = \left| z \right| \cr &\Leftrightarrow - x + 3y + 2z = \pm \sqrt {14} z \cr 
& \Leftrightarrow x - 3y + \left({ \pm \sqrt {14} - 2} \right)z = 0. \cr} \)