Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d\):
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 2t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)và mặt phẳng \((α) : 2x + y + z = 0\).

Câu a​

a) Tìm toạ độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \((α)\).
Phương pháp giải:
Tham số hóa tọa độ điểm A theo tham số \(t\), thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng \(\alpha\), tìm \(t\) và sauy ra tọa độ điểm \(A\).
Lời giải chi tiết:
\(A \in d \Rightarrow A\left( {1 - 2t; 2 + t; 3 - t} \right)\)
Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình của mặt phẳng \((α)\), ta có:
\(2(1 - 2t) + (2 + t) + (3 - t) = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4}  \)
\(\Rightarrow A\left( { - \frac{5}{2};\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right)\)

Câu b​

b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) qua \(A\) và vuông góc với \(d\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \((\beta)\) đi qua A và nhận VTCP của đường thẳng \(d\) là VTPT. Viết phương trình mặt phẳng \((\beta)\) khi biết một điểm đi qua và VTPT.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (-2; 1; -1)\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \((d)\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của \((β)\) là:
\( - 2\left( {x + {{10} \over 4}} \right) + 1.\left({y - {{15} \over 4}} \right) - 1.\left({z - {5 \over 4}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 4x - 2y + 2z + 15 = 0\)