Bài 1 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Câu a​

\(y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& y' = 6{x^2} + 6x \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\hfill \cr 
x = - 1\hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = {2.0^3} + {3.0^2} + 1 = 1\\
x = - 1 \Rightarrow y = 2.{\left({ - 1} \right)^3} + 3.{\left({ - 1} \right)^2} + 1 = 2
\end{array}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; 0} \right)\).

Câu b​

\(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 4x + 1 \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = {1^3} - {2.1^2} + 1 + 1 = 1\\
x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = {\left({\frac{1}{3}} \right)^3} - 2.{\left({\frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{{31}}{{27}}
\end{array}\)
Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\left( {{1 \over 3}; 1} \right)\).

Câu c​

\(y = x + {3 \over x}\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(\eqalign{
& y' = 1 - {3 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 3} \over {{x^2}}} \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \sqrt 3  \hfill \cr 
x = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 + \frac{3}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \\
x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3 + \frac{3}{{ - \sqrt 3 }} = - 2\sqrt 3
\end{array}\)
Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \sqrt 3; 0} \right)\) và \(\left( {0;\sqrt 3 } \right)\).

Câu d​

\(y = x - {2 \over x}\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(y' = 1 + {2 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 0\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty; 0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Câu e​

\(y = {x^4} - 2{x^2} - 5\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D= \mathbb R\)
\(y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right); y' = 0 \)
\( \Leftrightarrow  \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = \pm 1\hfill \cr} \right.\)
\(\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = {0^4} - {2.0^2} - 5 = - 5\\
x = 1 \Rightarrow y = {1^4} - {2.1^2} - 5 = - 6\\
x = - 1 \Rightarrow y = {\left({ - 1} \right)^4} - 2.{\left({ - 1} \right)^2} - 5 = - 6
\end{array}\)
Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; 1} \right)\), đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 1; 0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Câu f​

\(y = \sqrt {4 - {x^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2\)
Tập xác định: \(D = \left[ { - 2; 2} \right]\)
\(y' = {{ - 2x} \over {2\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }};\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \)\(x = 0\)
\(x = 0 \Rightarrow y = \sqrt {4 - {0^2}}  = 2\)
Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; 0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; 2} \right)\) .