Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Gọi H là chân đường cao của hình chóp. Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại E, F, I, J. Gọi K = EI ∩ FJ. Đặt SE = a, SF = b, SI = c, SJ = d, SK = k, ∠ASH = α.
a) Tìm diện tích của tam giác SEI theo a, c, α
b) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{{2\cos \alpha }}{k}\)
Suy ra \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}\)
a) Tìm diện tích của tam giác SEI theo a, c, α
b) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{{2\cos \alpha }}{k}\)
Suy ra \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính diện tích: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)
Lời giải chi tiết
a) $S_{S E I}=\frac{1}{2}$ SE.SI.sin2 $\alpha=\frac{a c}{2} \cdot \sin 2 \alpha$.
b) $S_{S I E}=S_{S I K}+S_{S K E}$
$\Leftrightarrow \frac{a c}{2} \sin 2 \alpha=\frac{k c}{2} \sin \alpha+\frac{a k}{2} \sin \alpha$
$\Leftrightarrow \frac{a c}{2} \cdot 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha=\frac{k c}{2} \sin \alpha+\frac{a k}{2} \sin \alpha$
$\Leftrightarrow 2 \mathrm{ac} \cdot \cos \alpha=\mathrm{k}(\mathrm{a}+\mathrm{c})$
$\Leftrightarrow \frac{a+c}{a c}=\frac{2 \cos \alpha}{k} \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2 \cos \alpha}{k}$
Tương tự, ta có: $\frac{1}{b}+\frac{1}{d}=\frac{2 \cos \alpha}{k}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c} .$
Sử dụng công thức tính diện tích: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)
Lời giải chi tiết
a) $S_{S E I}=\frac{1}{2}$ SE.SI.sin2 $\alpha=\frac{a c}{2} \cdot \sin 2 \alpha$.
b) $S_{S I E}=S_{S I K}+S_{S K E}$
$\Leftrightarrow \frac{a c}{2} \sin 2 \alpha=\frac{k c}{2} \sin \alpha+\frac{a k}{2} \sin \alpha$
$\Leftrightarrow \frac{a c}{2} \cdot 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha=\frac{k c}{2} \sin \alpha+\frac{a k}{2} \sin \alpha$
$\Leftrightarrow 2 \mathrm{ac} \cdot \cos \alpha=\mathrm{k}(\mathrm{a}+\mathrm{c})$
$\Leftrightarrow \frac{a+c}{a c}=\frac{2 \cos \alpha}{k} \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2 \cos \alpha}{k}$
Tương tự, ta có: $\frac{1}{b}+\frac{1}{d}=\frac{2 \cos \alpha}{k}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c} .$