Câu hỏi: Trên hình 105, ta có tam giác ABC và các hình vuông \(A{A'}{B_1}B, B{B'}{C_1}C, C{C'}{A_1}A\) .
Chứng minh các đăng thức sau:
a) \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}}). \overrightarrow {AC} = 0\)
b) \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}}). \overrightarrow {AC} = 0\)
c) \(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} = 0\)
d) \(\overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} = 0\)
Chứng minh các đăng thức sau:
a) \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}}). \overrightarrow {AC} = 0\)
b) \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}}). \overrightarrow {AC} = 0\)
c) \(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} = 0\)
d) \(\overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} = 0\)
Lời giải chi tiết
a) Kẻ \(AH \bot BC\) ta chứng minh đường thẳng AH cắt A'A1 tại trung điểm I của A'A1.
Ta có: \({A'}M \bot AH , {A_1}N \bot AH\)
\(\eqalign{
& \Delta AHB = \Delta {A'}MA \Rightarrow {A'}M = AH \cr
& \Delta AHC = \Delta {A_1}NA \Rightarrow {A_1}N = AH \cr} \)
Từ đó suy ra: \(\Delta IM{A'} = \Delta IN{A_1} \Rightarrow I{A'} = I{A_1} \)
Tương tự gọi J là trung điểm \({B_1}{B'}\) thì \(BJ \bot AC\) .
Ta có
\(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} = \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {B{B'}} = 2\overrightarrow {BJ} \)
\(\Rightarrow (\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}}). \overrightarrow {AC} = 0\).
Cách khác:
Ta có:
$\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})$
$=\overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A A}^{\prime} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B B^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B B}^{\prime} \cdot \overrightarrow{B C}$
$=\overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B B^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}$ (vì $\left.\overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}=0 ; \overrightarrow{B B^{\prime}} \cdot \overrightarrow{B C}=0\right)$
$=\overrightarrow{B B_{1}} \cdot \overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B B^{\prime}} \cdot \overrightarrow{B A}$
$=B B_{1} \cdot B C \cdot \cos \widehat{B_{1} B C}-B B^{\prime} \cdot B A \cdot \cos \widehat{B^{\prime} B A}$
$=$ c.a.cos $\widehat{B_{1} B C}-a \cdot c \cdot \cos \widehat{B^{\prime} B A}$
Mà $\widehat{B_{1} B C}=\widehat{B^{\prime} B A}=90^{\circ}+\widehat{A B C}$
nên $\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=0$
b) Theo chứng minh a ta có:
$\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=0$ (1)
Lại có: $\overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A C}=0 ;\left(\overrightarrow{C C^{\prime}} \perp \overrightarrow{A C}\right)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A C}=\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=0$
c) Chứng minh tương tự a ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {\overrightarrow {B{B^\prime }} + \overrightarrow {C{C^\prime }} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {B{B^\prime }} + \overrightarrow {C{C^\prime }} } \right) \cdot (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} )\\
= \overrightarrow {B{B^\prime }} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{B^\prime }} \cdot \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {C{C^\prime }} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C{C^\prime }} \cdot \overrightarrow {CB}
\end{array}$
$=\overrightarrow{B B^{\prime} \cdot} \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{C B}$ (vì $\overrightarrow{B B}^{\prime} \cdot \overrightarrow{C B}=0 ; \overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A C}=0$)
$=-\overrightarrow{C C_{1}} \cdot \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{C B}=0$ (3)
Lại có: $\overrightarrow {A{A^\prime }} \cdot \overrightarrow {AB} = 0;\left( {\overrightarrow {A{A^\prime }} \bot \overrightarrow {AB} } \right)$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: $\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A B}=0$
Mà theo b ta có: $\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=0$; hai vecto $\overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A C}$ không cùng phương nên:
$\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0}$ (điều phải chứng minh)
d) Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}}\cr& = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C'}} + \overrightarrow {CA} \cr
& = (\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}}) + (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA})\cr &= \overrightarrow 0 +\overrightarrow 0=\overrightarrow 0\cr} \)
a) Kẻ \(AH \bot BC\) ta chứng minh đường thẳng AH cắt A'A1 tại trung điểm I của A'A1.
Ta có: \({A'}M \bot AH , {A_1}N \bot AH\)
\(\eqalign{
& \Delta AHB = \Delta {A'}MA \Rightarrow {A'}M = AH \cr
& \Delta AHC = \Delta {A_1}NA \Rightarrow {A_1}N = AH \cr} \)
Từ đó suy ra: \(\Delta IM{A'} = \Delta IN{A_1} \Rightarrow I{A'} = I{A_1} \)
Tương tự gọi J là trung điểm \({B_1}{B'}\) thì \(BJ \bot AC\) .
Ta có
\(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} = \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {B{B'}} = 2\overrightarrow {BJ} \)
\(\Rightarrow (\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}}). \overrightarrow {AC} = 0\).
Cách khác:
Ta có:
$\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})$
$=\overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A A}^{\prime} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B B^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B B}^{\prime} \cdot \overrightarrow{B C}$
$=\overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B B^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}$ (vì $\left.\overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}=0 ; \overrightarrow{B B^{\prime}} \cdot \overrightarrow{B C}=0\right)$
$=\overrightarrow{B B_{1}} \cdot \overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B B^{\prime}} \cdot \overrightarrow{B A}$
$=B B_{1} \cdot B C \cdot \cos \widehat{B_{1} B C}-B B^{\prime} \cdot B A \cdot \cos \widehat{B^{\prime} B A}$
$=$ c.a.cos $\widehat{B_{1} B C}-a \cdot c \cdot \cos \widehat{B^{\prime} B A}$
Mà $\widehat{B_{1} B C}=\widehat{B^{\prime} B A}=90^{\circ}+\widehat{A B C}$
nên $\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=0$
b) Theo chứng minh a ta có:
$\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=0$ (1)
Lại có: $\overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A C}=0 ;\left(\overrightarrow{C C^{\prime}} \perp \overrightarrow{A C}\right)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A C}=\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=0$
c) Chứng minh tương tự a ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {\overrightarrow {B{B^\prime }} + \overrightarrow {C{C^\prime }} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {B{B^\prime }} + \overrightarrow {C{C^\prime }} } \right) \cdot (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} )\\
= \overrightarrow {B{B^\prime }} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{B^\prime }} \cdot \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {C{C^\prime }} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C{C^\prime }} \cdot \overrightarrow {CB}
\end{array}$
$=\overrightarrow{B B^{\prime} \cdot} \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{C B}$ (vì $\overrightarrow{B B}^{\prime} \cdot \overrightarrow{C B}=0 ; \overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A C}=0$)
$=-\overrightarrow{C C_{1}} \cdot \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{C B}=0$ (3)
Lại có: $\overrightarrow {A{A^\prime }} \cdot \overrightarrow {AB} = 0;\left( {\overrightarrow {A{A^\prime }} \bot \overrightarrow {AB} } \right)$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: $\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A B}=0$
Mà theo b ta có: $\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}\right) \cdot \overrightarrow{A C}=0$; hai vecto $\overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A C}$ không cùng phương nên:
$\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{B B^{\prime}}+\overrightarrow{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0}$ (điều phải chứng minh)
d) Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}}\cr& = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C'}} + \overrightarrow {CA} \cr
& = (\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}}) + (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA})\cr &= \overrightarrow 0 +\overrightarrow 0=\overrightarrow 0\cr} \)