Bài 1 trang 126 SGK Hình học 10 nâng cao

The Collectors · 17/3/21

Câu hỏi: Trên hình 105, ta có tam giác ABC và các hình vuông

A A^{'} B_{1} B, B B^{'} C_{1} C, C C^{'} A_{1} A

.
Chứng minh các đăng thức sau:
a)

(\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}}) . \vec{A C} = 0

b)

(\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}}) . \vec{A C} = 0

c)

\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}} = 0

d)

\vec{A B_{1}} + \vec{B C_{1}} + \vec{C A_{1}} = 0

Lời giải chi tiết

a) Kẻ

A H ⊥ B C

ta chứng minh đường thẳng AH cắt A'A1 tại trung điểm I của A'A1.
Ta có:

A^{'} M ⊥ A H, A_{1} N ⊥ A H

\begin{aligned} Δ A H B = Δ A^{'} M A \Rightarrow A^{'} M = A H \\ Δ A H C = Δ A_{1} N A \Rightarrow A_{1} N = A H \end{aligned}

Từ đó suy ra:

Δ I M A^{'} = Δ I N A_{1} \Rightarrow I A^{'} = I A_{1}

Tương tự gọi J là trung điểm

B_{1} B^{'}

thì

B J ⊥ A C

.
Ta có

\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} = \vec{B B_{1}} + \vec{B B^{'}} = 2 \vec{B J}

\Rightarrow (\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}}) . \vec{A C} = 0

.
Cách khác:
Ta có:

(\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}}) \cdot \vec{A C} = (\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}}) \cdot (\vec{A B} + \vec{B C})

= \vec{A A^{'}} \cdot \vec{A B} + {\vec{A A}}^{'} \cdot \vec{B C} + \vec{B B^{'}} \cdot \vec{A B} + {\vec{B B}}^{'} \cdot \vec{B C}

= \vec{A A^{'}} \cdot \vec{B C} + \vec{B B^{'}} \cdot \vec{A B}

(vì

\vec{A A^{'}} \cdot \vec{A B} = 0; \vec{B B^{'}} \cdot \vec{B C} = 0)

= \vec{B B_{1}} \cdot \vec{B C} - \vec{B B^{'}} \cdot \vec{B A}

= B B_{1} \cdot B C \cdot \cos \hat{B_{1} B C} - B B^{'} \cdot B A \cdot \cos \hat{B^{'} B A}

=

c.a.cos

\hat{B_{1} B C} - a \cdot c \cdot \cos \hat{B^{'} B A}

Mà

\hat{B_{1} B C} = \hat{B^{'} B A} = 90^{\circ} + \hat{A B C}

nên

(\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}}) \cdot \vec{A C} = 0

b) Theo chứng minh a ta có:

(\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}}) \cdot \vec{A C} = 0

(1)
Lại có:

\vec{C C^{'}} \cdot \vec{A C} = 0; (\vec{C C^{'}} ⊥ \vec{A C})

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

(\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}}) \cdot \vec{A C} + \vec{C C^{'}} \cdot \vec{A C} = (\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}}) \cdot \vec{A C} = 0

c) Chứng minh tương tự a ta có:

\begin{array}{l} (\vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}}) \cdot \vec{A B} = (\vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}}) \cdot (\vec{A C} + \vec{C B}) \\ = \vec{B B^{'}} \cdot \vec{A C} + \vec{B B^{'}} \cdot \vec{C B} + \vec{C C^{'}} \cdot \vec{A C} + \vec{C C^{'}} \cdot \vec{C B} \end{array}

= \vec{B B^{'} \cdot} \vec{A C} + \vec{C C^{'}} \cdot \vec{C B}

(vì

{\vec{B B}}^{'} \cdot \vec{C B} = 0; \vec{C C^{'}} \cdot \vec{A C} = 0

)

= - \vec{C C_{1}} \cdot \vec{C A} + \vec{C C^{'}} \cdot \vec{C B} = 0

(3)
Lại có:

\vec{A A^{'}} \cdot \vec{A B} = 0; (\vec{A A^{'}} ⊥ \vec{A B})

(4)
Từ (3) và (4) suy ra:

(\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}}) \cdot \vec{A B} = 0

Mà theo b ta có:

(\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}}) \cdot \vec{A C} = 0

; hai vecto

\vec{A B}; \vec{A C}

không cùng phương nên:

\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}} = \vec{0}

(điều phải chứng minh)

d) Ta có

\begin{aligned} \vec{A B_{1}} + \vec{B C_{1}} + \vec{C A_{1}} \\ = \vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{B B^{'}} + \vec{B C} + \vec{C C^{'}} + \vec{C A} \\ = (\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}}) + (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A}) \\ = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0} \end{aligned}