Google
Câu hỏi: Tìm khẳng định saitrong các khẳng định sau đây:
A. Hàm số \(y = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\) là hàm số chẵn.
B. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai tiệm cận đứng.
C. Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) luôn luôn nghịch biến.
D. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2x \text{với} x \ge 0\\\sin \dfrac{x}{3} \text{với} x < 0\end{array} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\).
A. Hàm số \(y = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\) là hàm số chẵn.
B. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai tiệm cận đứng.
C. Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) luôn luôn nghịch biến.
D. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2x \text{với} x \ge 0\\\sin \dfrac{x}{3} \text{với} x < 0\end{array} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Phương pháp giải
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng các kiến thức về hàm số chẵn, lẻ, tiệm cận của đồ thị hàm số, tính đơn điệu và sự tồn tại của đạo hàm đã học ở lớp 11.
Lời giải chi tiết
: Xét \(f\left( x \right) = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = 4\cos \left({ - x} \right) - 5{\sin ^2}\left({ - x} \right) - 3\) \(= 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3 = f\left( x \right)\)
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
A đúng.
: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai đường TCĐ là \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {29} }}{2}\) và \(x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {29} }}{2}\).
B đúng.
: Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) có \(y' = \dfrac{{17}}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - \dfrac{4}{3}\) nên luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{4}{3}} \right)\) và \(\left( { - \dfrac{4}{3}; + \infty } \right)\).
C sai.
: Dễ thấy hàm số liên tục tại \(x = 0\) nên ta kiểm tra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\) có tồn tại hay không.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x - 0}}{{x - 0}} = - 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{3} - 0}}{{x - 0}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{3}}}{x}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{{\sin \dfrac{x}{3}}}{{\dfrac{x}{3}}}.\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\) nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).
D đúng.
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng các kiến thức về hàm số chẵn, lẻ, tiệm cận của đồ thị hàm số, tính đơn điệu và sự tồn tại của đạo hàm đã học ở lớp 11.
Lời giải chi tiết
: Xét \(f\left( x \right) = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = 4\cos \left({ - x} \right) - 5{\sin ^2}\left({ - x} \right) - 3\) \(= 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3 = f\left( x \right)\)
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
A đúng.
: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai đường TCĐ là \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {29} }}{2}\) và \(x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {29} }}{2}\).
B đúng.
: Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) có \(y' = \dfrac{{17}}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - \dfrac{4}{3}\) nên luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{4}{3}} \right)\) và \(\left( { - \dfrac{4}{3}; + \infty } \right)\).
C sai.
: Dễ thấy hàm số liên tục tại \(x = 0\) nên ta kiểm tra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\) có tồn tại hay không.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x - 0}}{{x - 0}} = - 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{3} - 0}}{{x - 0}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{3}}}{x}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{{\sin \dfrac{x}{3}}}{{\dfrac{x}{3}}}.\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\) nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).
D đúng.
Đáp án A.