Google
Câu hỏi: Xác định giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2{x^3} + 3m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.
A. \(m = \sqrt[3]{5}\)
B. \(m < \sqrt[3]{5}\)
C. \(m > \sqrt[3]{5}\)
D. \(m \in \mathbb{R}\)
A. \(m = \sqrt[3]{5}\)
B. \(m < \sqrt[3]{5}\)
C. \(m > \sqrt[3]{5}\)
D. \(m \in \mathbb{R}\)
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp hàm số:
- Xét hàm, tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm.
- Biến luận nghiệm theo các cực trị (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
Xét hàm \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6mx = 6x\left( {x + m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - m\end{array} \right.\)
+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' = 6{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
+) Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Rightarrow \) Hàm số có hai điểm cực trị.
Đẻ phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) có một giao điểm duy nhất với trục hoành \(\Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\).
Ta có: \({x_1} = 0\) \(\Rightarrow {y_1} =2.0^3 +3m. 0^2 -5= - 5\)
\({x_2} = - m\) \(\Rightarrow {y_2} = 2.(-m)^3+3m.(-m)^2-5\) \(=-2m^3+3m^3-5={m^3} - 5\).
\({y_1}.{y_2} = - 5\left( {{m^3} - 5} \right) > 0\) \(\Leftrightarrow {m^3} - 5 < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt[3]{5}\).
Vậy \(m < \sqrt[3]{5}\).
Sử dụng phương pháp hàm số:
- Xét hàm, tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm.
- Biến luận nghiệm theo các cực trị (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
Xét hàm \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6mx = 6x\left( {x + m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - m\end{array} \right.\)
+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' = 6{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
+) Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Rightarrow \) Hàm số có hai điểm cực trị.
Đẻ phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) có một giao điểm duy nhất với trục hoành \(\Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\).
Ta có: \({x_1} = 0\) \(\Rightarrow {y_1} =2.0^3 +3m. 0^2 -5= - 5\)
\({x_2} = - m\) \(\Rightarrow {y_2} = 2.(-m)^3+3m.(-m)^2-5\) \(=-2m^3+3m^3-5={m^3} - 5\).
\({y_1}.{y_2} = - 5\left( {{m^3} - 5} \right) > 0\) \(\Leftrightarrow {m^3} - 5 < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt[3]{5}\).
Vậy \(m < \sqrt[3]{5}\).
Đáp án B.