Google
Câu hỏi: Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
A. \(m = - 1\)
B. \(m > 1\)
C. \(m \in \left( { - 1; 1} \right)\)
D. \(m \le - \dfrac{5}{2}\)
A. \(m = - 1\)
B. \(m > 1\)
C. \(m \in \left( { - 1; 1} \right)\)
D. \(m \le - \dfrac{5}{2}\)
Phương pháp giải
- Tính đạo hàm \(y'\).
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(D\) nếu và chỉ nếu \(y' \le 0,\forall x \in D\) và chỉ bằng \(0\) tại hữu hạn điểm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {2x + m + 1} \right)\left({2 - x} \right) + \left[ {{x^2} + \left({m + 1} \right)x - 1} \right]}}{{{{\left({2 - x} \right)}^2}}}\) \(= \dfrac{{ - {x^2} + 4x + 2m + 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(D\) nếu và chỉ nếu \(y' \le 0,\forall x \in D\) và chỉ bằng \(0\) tại hữu hạn điểm.
Dễ thấy \(y' = 0\) tại tối đa hai điểm nên ta cần \(y' \le 0,\forall x \ne 2\)
\(\Leftrightarrow - {x^2} + 4x + 2m + 1 \le 0,\forall x \ne 2\) \(\Leftrightarrow \Delta ' = 4 + 2m + 1 \le 0\) \(\Leftrightarrow m \le - \dfrac{5}{2}\).
- Tính đạo hàm \(y'\).
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(D\) nếu và chỉ nếu \(y' \le 0,\forall x \in D\) và chỉ bằng \(0\) tại hữu hạn điểm.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {2x + m + 1} \right)\left({2 - x} \right) + \left[ {{x^2} + \left({m + 1} \right)x - 1} \right]}}{{{{\left({2 - x} \right)}^2}}}\) \(= \dfrac{{ - {x^2} + 4x + 2m + 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(D\) nếu và chỉ nếu \(y' \le 0,\forall x \in D\) và chỉ bằng \(0\) tại hữu hạn điểm.
Dễ thấy \(y' = 0\) tại tối đa hai điểm nên ta cần \(y' \le 0,\forall x \ne 2\)
\(\Leftrightarrow - {x^2} + 4x + 2m + 1 \le 0,\forall x \ne 2\) \(\Leftrightarrow \Delta ' = 4 + 2m + 1 \le 0\) \(\Leftrightarrow m \le - \dfrac{5}{2}\).
Đáp án D.