Google
Câu hỏi: Giải phương trình sau
\(\cot x - 1 = \)
\(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\).
\(\cot x - 1 = \)
\(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\).
Phương pháp giải
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
ĐKXĐ của hàm số dạng \(y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}\) là \(g(x) \ne 0\).
Sử dụng công thức \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\); công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\); \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\); \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\); \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) để đưa phương trình về phương trình của hàm \(\tan x\).
Sau đó ta đặt \(t = \tan x\) để phương trình dễ nhìn hơn.
Sử dụng hằng đẳng thức số ba \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\) để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0\); \(\cos x \ne 0\) và \(\tan x \ne - 1\).
Ta có: \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\);
\(\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 2\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} - 1\\ = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);
\(\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}\sin 2x = - \sin x\cos x\\ = - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\cos ^2}x = - \tan x\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\)
Phương trình \(\cot x - 1 \)
\(=\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan x}} - 1 \)
\(=\dfrac{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}}}{{1 + \tan x}} + \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm \tan x}\nolimits} }{{{{\tan }^2}x + 1}}\)
Đặt \(t = \tan x\) ta được \(\dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{\dfrac{{1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} }} + \dfrac{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm t}\nolimits} }{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{{t^2} - t}}{{{t^2} + 1}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{t(t - 1)}}{{{t^2} + 1}}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 0\\\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{t^2} + 1}} - \dfrac{t}{{{t^2} + 1}}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^2} + 1 = (1 - t)t\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^2} - t + 1 = 0\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\).
Cách khác:
Điều kiện của phương trình: sinx ≠ 0, cos ≠ 0, tan ≠ -1.
Biến đổi tương đương đã cho, ta được
$\frac{\cos x}{\sin x}-1=\frac{\cos 2 x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}+\sin ^{2} x-\sin x \cdot \cos x$
$\Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=\frac{\cos x \cdot \cos 2 x}{\cos x+\sin x}+\sin ^{2} x-\sin x \cdot \cos x$
$\Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}-\frac{\cos x \cdot \cos 2 x}{\cos x+\sin x}=\sin x(\sin x-\cos x)$
$\Leftrightarrow \frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x-\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2 x}{\sin x(\cos x+\sin x)}=\sin x(\sin x-\cos x)$
$\Leftrightarrow \cos 2 x(1-\sin x \cdot \cos x)=\sin ^{2} x\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)$
$\Leftrightarrow \cos 2 x(1-\sin x \cdot \cos x)+\sin ^{2} x\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x\left(1-\sin x \cdot \cos x+\sin ^{2} x\right)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x\left(1-\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x(2-\sin 2 x+1-\cos 2 x)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x[2-\sin 2 x+1-\cos 2 x)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x[3-(\sin 2 x+\cos 2 x)]=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}\cos 2 x=0\left( 1 \right) \\ \sin 2 x+\cos 2 x=3\end{array}
\left( 2 \right)\right.$
Phương trình (2) vô nghiệm vì |sin2x + cos2x| ≥ √2.
Phương trình (1) có nghiệm 2x = π/2+kπ, k ∈ Z ⇒ x = π/4+ k π/2, k ∈ Z.
Giá trị x = π/4+ k π/2, k = 2n + 1, với n ∈ Z bị loại do điều kiện tanx ≠ -1.
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\).
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
ĐKXĐ của hàm số dạng \(y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}\) là \(g(x) \ne 0\).
Sử dụng công thức \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\); công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\); \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\); \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\); \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) để đưa phương trình về phương trình của hàm \(\tan x\).
Sau đó ta đặt \(t = \tan x\) để phương trình dễ nhìn hơn.
Sử dụng hằng đẳng thức số ba \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\) để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0\); \(\cos x \ne 0\) và \(\tan x \ne - 1\).
Ta có: \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\);
\(\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 2\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} - 1\\ = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);
\(\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}\sin 2x = - \sin x\cos x\\ = - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\cos ^2}x = - \tan x\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\)
Phương trình \(\cot x - 1 \)
\(=\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan x}} - 1 \)
\(=\dfrac{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}}}{{1 + \tan x}} + \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm \tan x}\nolimits} }{{{{\tan }^2}x + 1}}\)
Đặt \(t = \tan x\) ta được \(\dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{\dfrac{{1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} }} + \dfrac{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm t}\nolimits} }{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{{t^2} - t}}{{{t^2} + 1}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{t(t - 1)}}{{{t^2} + 1}}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 0\\\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{t^2} + 1}} - \dfrac{t}{{{t^2} + 1}}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^2} + 1 = (1 - t)t\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^2} - t + 1 = 0\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\).
Cách khác:
Điều kiện của phương trình: sinx ≠ 0, cos ≠ 0, tan ≠ -1.
Biến đổi tương đương đã cho, ta được
$\frac{\cos x}{\sin x}-1=\frac{\cos 2 x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}+\sin ^{2} x-\sin x \cdot \cos x$
$\Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=\frac{\cos x \cdot \cos 2 x}{\cos x+\sin x}+\sin ^{2} x-\sin x \cdot \cos x$
$\Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}-\frac{\cos x \cdot \cos 2 x}{\cos x+\sin x}=\sin x(\sin x-\cos x)$
$\Leftrightarrow \frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x-\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2 x}{\sin x(\cos x+\sin x)}=\sin x(\sin x-\cos x)$
$\Leftrightarrow \cos 2 x(1-\sin x \cdot \cos x)=\sin ^{2} x\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)$
$\Leftrightarrow \cos 2 x(1-\sin x \cdot \cos x)+\sin ^{2} x\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x\left(1-\sin x \cdot \cos x+\sin ^{2} x\right)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x\left(1-\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x(2-\sin 2 x+1-\cos 2 x)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x[2-\sin 2 x+1-\cos 2 x)=0$
$\Leftrightarrow \cos 2 x[3-(\sin 2 x+\cos 2 x)]=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}\cos 2 x=0\left( 1 \right) \\ \sin 2 x+\cos 2 x=3\end{array}
\left( 2 \right)\right.$
Phương trình (2) vô nghiệm vì |sin2x + cos2x| ≥ √2.
Phương trình (1) có nghiệm 2x = π/2+kπ, k ∈ Z ⇒ x = π/4+ k π/2, k ∈ Z.
Giá trị x = π/4+ k π/2, k = 2n + 1, với n ∈ Z bị loại do điều kiện tanx ≠ -1.
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\).