Bài 1.5, 1.6, 1.7 phần bài tập bổ sung trang 34, 35 SBT toán 7 tập 1

Câu hỏi:

Bài I.5

Tìm \(x, y\) biết \(\displaystyle {{{x^2} + {y^2}} \over {10}} = {{{x^2} - 2{y^2}} \over 7}\) và \({x^4}{y^4} = 81\).
Phương pháp giải:
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} \left( {a,b,a + b \ne 0} \right)\)
Ta đặt \({x^2} = a\left( {a \ge 0} \right),{y^2} = b\left( {b \ge 0} \right)\) sau đó tìm \(a, b\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \({x^2} = a\left( {a \ge 0} \right),{y^2} = b\left( {b \ge 0} \right)\)
Ta có \(\displaystyle {{a + b} \over {10}} = {{a - 2b} \over 7}\) và \({a^2}{b^2} = 81\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\displaystyle {{a + b} \over {10}} = {{a - 2b} \over 7} = {{(a + b) - (a - 2b)} \over {10 - 7}}\)\( \displaystyle = {{3b} \over 3} = b\) (1)
\(\displaystyle {{a + b} \over {10}} = {{2a + 2b} \over {20}}= {{a - 2b} \over 7} \)\( \displaystyle = {{(2a + 2b) + (a - 2b)} \over {20 + 7}} = {{3a} \over {27}} = {a \over 9}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle {a \over 9} = b \Rightarrow a = 9b\)
Do \({a^2}{b^2} = 81\) nên \({(9b)^2}.{b^2} = 81\) \( \Rightarrow 81{b^4} = 81 \Rightarrow {b^4} = 1 \Rightarrow b = 1\) (vì \(b ≥ 0\))
Suy ra \(a = 9 . 1 = 9\).
Ta có \({x^2} = 9\) và \({y^2} = 1\). Suy ra \(x = ±3, y = ±1.\)

Bài I.6

Với giá trị nào của \(x\) thì \(A = \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất:
\(\begin{array}{l}
+) |A| \ge A\\
+) |A| = | - A|\\
+) |A| \ge 0
\end{array}\)
+) \(\left| x \right| + \left| y \right| \ge \left| {x + y} \right|\)
Dấu "=" xảy ra khi \(xy\ge 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left| {x - 7} \right|=\left| {7 - x} \right|\)
Nên \(A = \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 5} \right| + \left| {7 - x} \right|\)
Lại có: \(\left| {x - 3} \right| + \left| {7- x} \right|\)\(\ge |x-3+7-x|=|4|=4\) (áp dụng bài 140 SBT trang 34: \(\left| x \right| + \left| y \right| \ge \left| {x + y} \right|)\)
Mà \(\left| {x - 5} \right| \ge 0\)
Nên \(A = \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 5} \right| + \left| {7 - x} \right|\)\( \ge 0+4 = 4\)
Dấu ''='' xảy ra khi:
\(\left\{ \matrix{
x - 3 \ge 0 \hfill \cr
x - 5 = 0 \hfill \cr
7 - x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 3 \hfill \cr
x = 5 \hfill \cr
x \le 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\)
Vậy \( x = 5\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(4.\)

Bài I.7

Với giá trị nào của \(x\) thì \(B = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 5} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất:
\(\begin{array}{l}
|A| \ge A\\
|A| = | - A|\\
|A| \ge 0
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left| {x - 3} \right|=\left| {3 - x} \right|\) và \(\left| {x - 5} \right|=\left| {5 - x} \right|\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& B = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right| + \left| {3 - x} \right| + \left| {5 - x} \right| \cr
& \Rightarrow B \ge x - 1 + x - 2 + 3 - x + 5 - x =5\cr} \) (vì \(|A| \ge A\))
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr
x - 2 \ge 0 \hfill \cr
3 - x \ge 0 \hfill \cr
5 - x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr
x \le 5 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3.\)
Vậy \(2 ≤ x ≤ 3\) thì \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(5.\)