Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác \(S. ABCD\) có thể tích bằng \(V\). Lấy điểm \(A'\) trên cạnh \(SA\) sao cho \(SA' = \dfrac{1}{3}SA\). Mặt phẳng qua \(A'\) và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh \(SB, SC, SD\) lần lượt tại \(B', C', D'\). Thể tích hình chóp \(S. A'B'C'D'\) bằng:
A. \(\dfrac{V}{3}\)
B. \(\dfrac{V}{9}\)
C. \(\dfrac{V}{{27}}\)
D. \(\dfrac{V}{{81}}\)
A. \(\dfrac{V}{3}\)
B. \(\dfrac{V}{9}\)
C. \(\dfrac{V}{{27}}\)
D. \(\dfrac{V}{{81}}\)
Phương pháp giải
Chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác và tính tỉ số thể tích.
Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác.
Xem tại đây.
Lời giải chi tiết
Dễ thấy \(B', C', D'\) thuộc các cạnh \(SB, SC, SD\) sao cho \(\dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\dfrac{{{V_{S. A'B'D'}}}}{{{V_{S. ABD}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}\) \(= \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}}\);
\(\dfrac{{{V_{S. C'B'D'}}}}{{{V_{S. CBD}}}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}\) \(= \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{{27}} = \dfrac{{{V_{S. A'B'D'}}}}{{{V_{S. ABD}}}} = \dfrac{{{V_{S. C'B'D'}}}}{{{V_{S. CBD}}}}\) \(= \dfrac{{{V_{S. A'B'D'}} + {V_{S. C'B'D'}}}}{{{V_{S. ABD}} + {V_{S. CBD}}}} = \dfrac{{{V_{S. A'B'C'D'}}}}{{{V_{S. ABCD}}}}\)
\(\Rightarrow {V_{S. A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{{27}}V\).
Chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác và tính tỉ số thể tích.
Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác.
Xem tại đây.
Lời giải chi tiết
Dễ thấy \(B', C', D'\) thuộc các cạnh \(SB, SC, SD\) sao cho \(\dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\dfrac{{{V_{S. A'B'D'}}}}{{{V_{S. ABD}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}\) \(= \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}}\);
\(\dfrac{{{V_{S. C'B'D'}}}}{{{V_{S. CBD}}}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}\) \(= \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{{27}} = \dfrac{{{V_{S. A'B'D'}}}}{{{V_{S. ABD}}}} = \dfrac{{{V_{S. C'B'D'}}}}{{{V_{S. CBD}}}}\) \(= \dfrac{{{V_{S. A'B'D'}} + {V_{S. C'B'D'}}}}{{{V_{S. ABD}} + {V_{S. CBD}}}} = \dfrac{{{V_{S. A'B'C'D'}}}}{{{V_{S. ABCD}}}}\)
\(\Rightarrow {V_{S. A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{{27}}V\).
Đáp án C.