Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x - 5y + 3 = 0\) và vectơ \(\overrightarrow v = \left( {2; 3} \right)\). Hãy viết phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \).
Phương pháp giải
Sử dụng lý thuyết phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Gọi phương trình \(d'\).
- Lấy một điểm \(A \in d\), tìm ảnh \(A'\) của \(A\) qua \({T_{\overrightarrow v }}\).
- Cho \(A' \in d'\) và suy ra phương trình của \(d'\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(d':3x - 5y + c = 0\).
Lấy \(A\left( {4; 3} \right) \in d\), gọi \(A'\left( {x; y} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left(A \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2 = 6\\y = 3 + 3 = 6\end{array} \right.\) nên \(A'\left( {6; 6} \right)\).
Mà \(A' \in d'\) nên \(3.6 - 5.6 + c = 0 \Leftrightarrow c = 12\).
Vậy phương trình \(d':3{\rm{x}} - 5y + 12 = 0\).
Cách khác:
Gọi M′(x′; y′) ∈ d′ là ảnh của M(x, y) ∈ d qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow v = \left( {2; 3} \right)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + 2\\y' = y + 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - 2\\y = y' - 3\end{array} \right.\)
Do M(x, y) ∈ d nên
3x − 5y + 3 = 0
⇒ 3(x′−2) − 5(y′−3) + 3 = 0
⇔ 3x′ − 5y′ + 12 = 0 (d′)
Vậy M′(x′; y′) ∈ d′: 3x′ − 5y′ + 12 = 0
Sử dụng lý thuyết phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Gọi phương trình \(d'\).
- Lấy một điểm \(A \in d\), tìm ảnh \(A'\) của \(A\) qua \({T_{\overrightarrow v }}\).
- Cho \(A' \in d'\) và suy ra phương trình của \(d'\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(d':3x - 5y + c = 0\).
Lấy \(A\left( {4; 3} \right) \in d\), gọi \(A'\left( {x; y} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left(A \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2 = 6\\y = 3 + 3 = 6\end{array} \right.\) nên \(A'\left( {6; 6} \right)\).
Mà \(A' \in d'\) nên \(3.6 - 5.6 + c = 0 \Leftrightarrow c = 12\).
Vậy phương trình \(d':3{\rm{x}} - 5y + 12 = 0\).
Cách khác:
Gọi M′(x′; y′) ∈ d′ là ảnh của M(x, y) ∈ d qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow v = \left( {2; 3} \right)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + 2\\y' = y + 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - 2\\y = y' - 3\end{array} \right.\)
Do M(x, y) ∈ d nên
3x − 5y + 3 = 0
⇒ 3(x′−2) − 5(y′−3) + 3 = 0
⇔ 3x′ − 5y′ + 12 = 0 (d′)
Vậy M′(x′; y′) ∈ d′: 3x′ − 5y′ + 12 = 0