Google
Câu hỏi: Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\sin 3x-\cos x=0\) thuộc đoạn \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là
A. \(\dfrac{3\pi}{2}\)
B. \(\dfrac{4\pi}{3}\)
C. \(\dfrac{5\pi}{4}\)
D. \(\pi\).
A. \(\dfrac{3\pi}{2}\)
B. \(\dfrac{4\pi}{3}\)
C. \(\dfrac{5\pi}{4}\)
D. \(\pi\).
Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng \(\sin a=\sin b\)
Phương trình có các nghiệm là:
\(a = b+k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)
và \(a=\pi-b+k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\sin 3x-\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x\)
\(\Leftrightarrow \sin 3x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-(\dfrac{\pi}{2}-x)+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Trong đoạn \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), với \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}\) ta có 4 giá trị là \(-\dfrac{3\pi}{8}\), \(\dfrac{\pi}{8}\), \(\dfrac{5\pi}{8}\) và \(\dfrac{9\pi}{8}\) ứng với các giá trị \(k=-1\), \(0\), \(1\) và \(2\) trong đó \(\dfrac{9\pi}{8}\) là giá trị lớn nhất.
Với \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) ta có 2 giá trị là \(\dfrac{\pi}{4}\) và\(\dfrac{5\pi}{4}\) ứng với các giá trị \(k=-1\), \(0\) và \(1\) trong đó \(\dfrac{5\pi}{4}\) là giá trị lớn nhất.
Vì \(\dfrac{5\pi}{4} > \dfrac{9\pi}{8}\) nên \(\dfrac{5\pi}{4}\) là nghiệm lớn nhất của phương trình trong \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)
Cách trắc nghiệm:
Ta xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.
Với giá trị lớn nhất 4π/3 trong phương án B, ta thấy sin3x = 0 nhưng cosx ≠ 0 nên phương án B bị loại.
Với giá trị x = 5π/3 trong phương án C thì sin3x = (-√2)/2, cos5π/3 = (-√2)/2 nên 5π/4 là nghiệm của phương trình.
Đưa phương trình về dạng \(\sin a=\sin b\)
Phương trình có các nghiệm là:
\(a = b+k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)
và \(a=\pi-b+k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\sin 3x-\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x\)
\(\Leftrightarrow \sin 3x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-(\dfrac{\pi}{2}-x)+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Trong đoạn \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), với \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}\) ta có 4 giá trị là \(-\dfrac{3\pi}{8}\), \(\dfrac{\pi}{8}\), \(\dfrac{5\pi}{8}\) và \(\dfrac{9\pi}{8}\) ứng với các giá trị \(k=-1\), \(0\), \(1\) và \(2\) trong đó \(\dfrac{9\pi}{8}\) là giá trị lớn nhất.
Với \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) ta có 2 giá trị là \(\dfrac{\pi}{4}\) và\(\dfrac{5\pi}{4}\) ứng với các giá trị \(k=-1\), \(0\) và \(1\) trong đó \(\dfrac{5\pi}{4}\) là giá trị lớn nhất.
Vì \(\dfrac{5\pi}{4} > \dfrac{9\pi}{8}\) nên \(\dfrac{5\pi}{4}\) là nghiệm lớn nhất của phương trình trong \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)
Cách trắc nghiệm:
Ta xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.
Với giá trị lớn nhất 4π/3 trong phương án B, ta thấy sin3x = 0 nhưng cosx ≠ 0 nên phương án B bị loại.
Với giá trị x = 5π/3 trong phương án C thì sin3x = (-√2)/2, cos5π/3 = (-√2)/2 nên 5π/4 là nghiệm của phương trình.
Đáp án C.