Google
Câu hỏi: Cho ba điểm không thẳng hàng \(I\), \(J\), \(K\). Hãy dựng tam giác \(ABC\) nhận \(I\), \(J\), \(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\), \(AB\), \(AC\).
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất tâm đối xứng bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Lời giải chi tiết
Giả sử tam giác \(ABC\) đã dựng được.
Cách dựng điểm \(C\):
Lấy điểm \(M\) bất kì. Gọi \(N\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng tâm \(I\). \(P\) là ảnh của \(N\) qua phép đối xứng tâm \(J\). \(Q\) là ảnh của \(P\) qua phép đối xứng tâm \(K\).
Khi đó \(\vec{CM}=-\vec{BN}=\vec{AP}=-\vec{CQ}\).
Do đó \(C\) là trung điểm của \(QM\).
Tương tự, cách dựng điểm \(B\):
Lấy điểm \(O\) bất kỳ, gọi \(O_1\) là ảnh của \(O\) qua phép đối xứng tâm \(J\), \(O_2\) là ảnh của \(O_1\) qua phép đối xứng tâm \(K\), \(O_3\) là ảnh của \(O_2\) qua phép đối xứng tâm \(I\)
\(B\) là trung điểm của \(OO_3\).
Cách dựng điểm \(A\):
Lấy điểm \(H\) bất kỳ, gọi \(H_1\) là ảnh của \(H\) qua phép đối xứng tâm \(J\), \(H_2\) là ảnh của \(H_1\) qua phép đối xứng tâm \(K\), \(H_3\) là ảnh của \(H_2\) qua phép đối xứng tâm \(I\)
\(A\) là trung điểm của \(HH_3\).
Từ đó suy ra cách dựng tam giác \(ABC\).
Sử dụng tính chất tâm đối xứng bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Lời giải chi tiết
Giả sử tam giác \(ABC\) đã dựng được.
Cách dựng điểm \(C\):
Lấy điểm \(M\) bất kì. Gọi \(N\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng tâm \(I\). \(P\) là ảnh của \(N\) qua phép đối xứng tâm \(J\). \(Q\) là ảnh của \(P\) qua phép đối xứng tâm \(K\).
Khi đó \(\vec{CM}=-\vec{BN}=\vec{AP}=-\vec{CQ}\).
Do đó \(C\) là trung điểm của \(QM\).
Tương tự, cách dựng điểm \(B\):
Lấy điểm \(O\) bất kỳ, gọi \(O_1\) là ảnh của \(O\) qua phép đối xứng tâm \(J\), \(O_2\) là ảnh của \(O_1\) qua phép đối xứng tâm \(K\), \(O_3\) là ảnh của \(O_2\) qua phép đối xứng tâm \(I\)
\(B\) là trung điểm của \(OO_3\).
Cách dựng điểm \(A\):
Lấy điểm \(H\) bất kỳ, gọi \(H_1\) là ảnh của \(H\) qua phép đối xứng tâm \(J\), \(H_2\) là ảnh của \(H_1\) qua phép đối xứng tâm \(K\), \(H_3\) là ảnh của \(H_2\) qua phép đối xứng tâm \(I\)
\(A\) là trung điểm của \(HH_3\).
Từ đó suy ra cách dựng tam giác \(ABC\).