Google
Câu hỏi: Với tham số thực $k$ thuộc tập $S$ nào dưới đây để phương trình ${{\log }_{2}}\left( x+3 \right)+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=k$ có một nghiệm duy nhất?
A. $S=\left( -\infty ;0 \right)$.
B. $S=\left( 2;+\infty \right)$.
C. $S=\left( 4;+\infty \right)$.
D. $S=\left( 0;+\infty \right)$.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x+3>0 \\
& {{x}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-3 \\
& x\ne 0 \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$.
Khi đó ${{\log }_{2}}\left( x+3 \right)+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=k\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{x}^{2}}\left( x+3 \right) \right]=k$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}={{2}^{k}} \left( 1 \right)$
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right):y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ và đường thẳng $\left( d \right):y={{2}^{k}}$.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất khi $\left( C \right)$ cắt $\left( d \right)$ chỉ tại 1 điểm thỏa mãn (*).
Khảo sát hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ trên $\left( -3;+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$ ta được
Dựa vào đồ thị hàm số : Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{2}^{k}}>4\Leftrightarrow k>2$.
A. $S=\left( -\infty ;0 \right)$.
B. $S=\left( 2;+\infty \right)$.
C. $S=\left( 4;+\infty \right)$.
D. $S=\left( 0;+\infty \right)$.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x+3>0 \\
& {{x}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-3 \\
& x\ne 0 \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$.
Khi đó ${{\log }_{2}}\left( x+3 \right)+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=k\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{x}^{2}}\left( x+3 \right) \right]=k$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}={{2}^{k}} \left( 1 \right)$
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right):y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ và đường thẳng $\left( d \right):y={{2}^{k}}$.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất khi $\left( C \right)$ cắt $\left( d \right)$ chỉ tại 1 điểm thỏa mãn (*).
Khảo sát hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ trên $\left( -3;+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$ ta được
Dựa vào đồ thị hàm số : Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{2}^{k}}>4\Leftrightarrow k>2$.
Đáp án B.