Google
Câu hỏi: Trong tập hợp các số phức, cho phương trình ${{z}^{2}}-6z+10m-{{m}^{2}}=0$ ( $m$ là tham số thực). Tổng tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn. $\left| {{z}_{1}} \right|{{z}_{2}}+\left| {{z}_{2}} \right|{{z}_{1}}=24$ bằng
A. $20$
B. $25$
C. $6$
D. $10$
A. $20$
B. $25$
C. $6$
D. $10$
Ta có $\Delta '={{m}^{2}}-10m+9$
TH1: $\Delta '={{m}^{2}}-10m+9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m<1 \\
m>9 \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai số thực phân biệt.
$\left| {{z}_{1}} \right|{{z}_{2}}+\left| {{z}_{2}} \right|{{z}_{1}}=24\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)}^{2}}+2\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|.{{z}_{2}}{{z}_{1}}+{{\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)}^{2}}=576$ (1)
$\Leftrightarrow 2.{{\left( 10m-{{m}^{2}} \right)}^{2}}+2\left| 10m-{{m}^{2}} \right|.\left( 10m-{{m}^{2}} \right)=576\Leftrightarrow 4.{{\left( 10m-{{m}^{2}} \right)}^{2}}=576 khi 10m-{{m}^{2}}>0$
$\Leftrightarrow 10m-{{m}^{2}}=12\Leftrightarrow m=5\pm \sqrt{13}$ (không thỏa mãn)
$(1)\Leftrightarrow 2.{{\left( 10m-{{m}^{2}} \right)}^{2}}+2\left| 10m-{{m}^{2}} \right|.\left( 10m-{{m}^{2}} \right)=576\Leftrightarrow 0=576(vn) khi 10m-{{m}^{2}}<0$
TH2: $\Delta '={{m}^{2}}-10m+9<0\Leftrightarrow 1<m<9$
Khi đó ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
$\left| {{z}_{1}} \right|{{z}_{2}}+\left| {{z}_{2}} \right|{{z}_{1}}=24\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left( {{z}_{2}}+{{z}_{1}} \right)=24\Leftrightarrow \sqrt{-{{m}^{2}}+10m}.6=24\Leftrightarrow \sqrt{-{{m}^{2}}+10m}=4$
$\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+10m-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 \\
m=8 \\
\end{matrix} \right.$(t/m).
Vậy tổng các giá trị của $m$ bằng 10.
TH1: $\Delta '={{m}^{2}}-10m+9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m<1 \\
m>9 \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai số thực phân biệt.
$\left| {{z}_{1}} \right|{{z}_{2}}+\left| {{z}_{2}} \right|{{z}_{1}}=24\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)}^{2}}+2\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|.{{z}_{2}}{{z}_{1}}+{{\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)}^{2}}=576$ (1)
$\Leftrightarrow 2.{{\left( 10m-{{m}^{2}} \right)}^{2}}+2\left| 10m-{{m}^{2}} \right|.\left( 10m-{{m}^{2}} \right)=576\Leftrightarrow 4.{{\left( 10m-{{m}^{2}} \right)}^{2}}=576 khi 10m-{{m}^{2}}>0$
$\Leftrightarrow 10m-{{m}^{2}}=12\Leftrightarrow m=5\pm \sqrt{13}$ (không thỏa mãn)
$(1)\Leftrightarrow 2.{{\left( 10m-{{m}^{2}} \right)}^{2}}+2\left| 10m-{{m}^{2}} \right|.\left( 10m-{{m}^{2}} \right)=576\Leftrightarrow 0=576(vn) khi 10m-{{m}^{2}}<0$
TH2: $\Delta '={{m}^{2}}-10m+9<0\Leftrightarrow 1<m<9$
Khi đó ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
$\left| {{z}_{1}} \right|{{z}_{2}}+\left| {{z}_{2}} \right|{{z}_{1}}=24\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left( {{z}_{2}}+{{z}_{1}} \right)=24\Leftrightarrow \sqrt{-{{m}^{2}}+10m}.6=24\Leftrightarrow \sqrt{-{{m}^{2}}+10m}=4$
$\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+10m-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 \\
m=8 \\
\end{matrix} \right.$(t/m).
Vậy tổng các giá trị của $m$ bằng 10.
Đáp án D.