Google
Câu hỏi: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Tuấn nhờ bố làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ${ABCD}$ có cạnh bằng ${5cm}$ (tham khảo hình vẽ)
Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân ${AEB}$, ${BFC}$, ${CGD}$, ${DHA}$ và sau đó gò các tam giác ${AEH}$, ${BEF}$, ${CFG}$, ${DGH}$ sao cho bốn đỉnh ${A}$, ${B}$, ${C}$, ${D}$ trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng
A. ${\dfrac{{4\sqrt {10} }}{3}}$.
B. ${\dfrac{{8\sqrt {10} }}{3}.}$
C. ${\dfrac{{8\sqrt {10} }}{5}.}$
D. ${\dfrac{{4\sqrt {10} }}{5}}$.
Đặt cạnh của hình vuông EFGH là $x\left( x>0 \right)$
$\Rightarrow OM=\dfrac{x}{2},CM=CO-OM=\dfrac{5\sqrt{2}-x}{2}\left( 0<x<5\sqrt{2} \right)$
Khi gõ các tam giác thành hình chóp tứ giác đều A. EFGH thì C = A nên ta có AM = CM.
$\Rightarrow AO=\sqrt{A{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{50-10\sqrt{2x}}}{2}\left( 0<x<\dfrac{5\sqrt{2}}{2} \right)$
Thể tích khối chóp $A.EFGH:{{V}_{A.EFGH}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{EFGH}}.AO=\dfrac{1}{6}{{x}^{2}}\sqrt{50-10\sqrt{2x}}=\dfrac{1}{6}\sqrt{50{{x}^{4}}-10\sqrt{2}{{x}^{5}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=50{{x}^{4}}-10\sqrt{2}{{x}^{5}}$ với $0<x<\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
$f'\left( x \right)=200{{x}^{3}}-50\sqrt{2}{{x}^{4}}=50{{x}^{3}}\left( 4-\sqrt{2}x \right);f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành là ${{V}_{AEFGH}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{3}$ khi và chỉ khi $x=2\sqrt{2}$
Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân ${AEB}$, ${BFC}$, ${CGD}$, ${DHA}$ và sau đó gò các tam giác ${AEH}$, ${BEF}$, ${CFG}$, ${DGH}$ sao cho bốn đỉnh ${A}$, ${B}$, ${C}$, ${D}$ trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng
A. ${\dfrac{{4\sqrt {10} }}{3}}$.
B. ${\dfrac{{8\sqrt {10} }}{3}.}$
C. ${\dfrac{{8\sqrt {10} }}{5}.}$
D. ${\dfrac{{4\sqrt {10} }}{5}}$.
Đặt cạnh của hình vuông EFGH là $x\left( x>0 \right)$
$\Rightarrow OM=\dfrac{x}{2},CM=CO-OM=\dfrac{5\sqrt{2}-x}{2}\left( 0<x<5\sqrt{2} \right)$
Khi gõ các tam giác thành hình chóp tứ giác đều A. EFGH thì C = A nên ta có AM = CM.
$\Rightarrow AO=\sqrt{A{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{50-10\sqrt{2x}}}{2}\left( 0<x<\dfrac{5\sqrt{2}}{2} \right)$
Thể tích khối chóp $A.EFGH:{{V}_{A.EFGH}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{EFGH}}.AO=\dfrac{1}{6}{{x}^{2}}\sqrt{50-10\sqrt{2x}}=\dfrac{1}{6}\sqrt{50{{x}^{4}}-10\sqrt{2}{{x}^{5}}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=50{{x}^{4}}-10\sqrt{2}{{x}^{5}}$ với $0<x<\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
$f'\left( x \right)=200{{x}^{3}}-50\sqrt{2}{{x}^{4}}=50{{x}^{3}}\left( 4-\sqrt{2}x \right);f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành là ${{V}_{AEFGH}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{3}$ khi và chỉ khi $x=2\sqrt{2}$
Đáp án A.