Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$ biết...

Ta có : $\overrightarrow{AB}=\left( 0;0;-4 \right)=-4\left( 0;0;1 \right)$. Hay $AB$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right]=\left( 0;4;0 \right)=4\left( 0;1;0 \right)$, hay $\overleftarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot AB \\
& AD\subset \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AD}\bot \overrightarrow{k} \\
& \overrightarrow{AD}\bot \overrightarrow{j} \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng $AD$ có vectơ chỉ phương là $\left[ \overrightarrow{j};\overrightarrow{k} \right]=\left( 1;0;0 \right)$.
Phương trình đường thẳng $AD$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=0 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ D\left( 1+t;0;1 \right)$.
Mặt khác $AD=AB\Leftrightarrow \sqrt{{{t}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( 1-1 \right)}^{2}}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=4 \\
& t=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì điểm $D$ có hoành độ âm nên $D\left( -3;0;1 \right)$.
Vì tâm $I$ của hình vuông $ABCD$ là trung điểm của $BD$, nên $I=\left( -1;0;-1 \right)$.
Đường thẳng $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$, nên phương trình đường thẳng $d$ là $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=t \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.$.