Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( 2;-1;1 \right),M\left( 5;3;1 \right),N\left( 4;1;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):y+z=27$. Biết rằng tồn tại điểm $B$ trên tia $AM$, điểm $C$ trên $\left( P \right)$ và điểm $D$ trên tia $AN$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình thoi. Tọa độ điểm $C$ là
A. $\left( -15;21;6 \right)$.
B. $\left( 21;21;6 \right)$.
C. $\left( -15;7;20 \right)$.
D. $\left( 21;19;8 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 3;4;0 \right);AM=5$. Gọi $E$ là điểm sao cho $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{AM}.\overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5};0 \right)$, khi đó $E$ thuộc tia $AM$ và $AE=1$.
Ta cũng có $\overrightarrow{AN}=\left( 2;2;1 \right);AN=3$. Gọi $F$ là điểm sao cho $\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{AN}.\overrightarrow{AN}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3} \right)$, khi đó $F$ thuộc tia $AN$ và $AF=1$.
Do $ABCD$ là hình thoi nên suy ra $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\left( \dfrac{19}{15};\dfrac{22}{15};\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{1}{15}\left( 19;22;5 \right)$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$, hay $\overrightarrow{u}=\left( 19;22;5 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$.
Phương trình đường thẳng $AC$ là
$AC:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+19t \\
& y=-1+22t \\
& z=1+5t \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ điểm $C$ ứng với $t$ là nghiệm phương trình
$\left( -1+22t \right)+\left( 1+5t \right)=27\Leftrightarrow t=1$
Do đó $C\left( 21;21;6 \right)$.
A. $\left( -15;21;6 \right)$.
B. $\left( 21;21;6 \right)$.
C. $\left( -15;7;20 \right)$.
D. $\left( 21;19;8 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 3;4;0 \right);AM=5$. Gọi $E$ là điểm sao cho $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{AM}.\overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5};0 \right)$, khi đó $E$ thuộc tia $AM$ và $AE=1$.
Ta cũng có $\overrightarrow{AN}=\left( 2;2;1 \right);AN=3$. Gọi $F$ là điểm sao cho $\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{AN}.\overrightarrow{AN}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3} \right)$, khi đó $F$ thuộc tia $AN$ và $AF=1$.
Do $ABCD$ là hình thoi nên suy ra $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\left( \dfrac{19}{15};\dfrac{22}{15};\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{1}{15}\left( 19;22;5 \right)$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$, hay $\overrightarrow{u}=\left( 19;22;5 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$.
Phương trình đường thẳng $AC$ là
$AC:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+19t \\
& y=-1+22t \\
& z=1+5t \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ điểm $C$ ứng với $t$ là nghiệm phương trình
$\left( -1+22t \right)+\left( 1+5t \right)=27\Leftrightarrow t=1$
Do đó $C\left( 21;21;6 \right)$.
Đáp án B.