Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ và mặt phẳng $\left( P \right):2\text{x}-2y+z+3=0$. Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến $\left( P \right)$ lớn nahát. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $a+b+c=8$
B. $a+b+c=5$
C. $a+b+c=6$
D. $a+b+c=7$
A. $a+b+c=8$
B. $a+b+c=5$
C. $a+b+c=6$
D. $a+b+c=7$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right),R=3$.
Ta có: $d\left( I,(P) \right)=\dfrac{\left| 2.1-2.2+3+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{4}{3}<R$ nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.
Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến $\left( P \right)$ lớn nhất thì điểm M thuộc đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm I và vuông góc với $\left( P \right)$.
Phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right. $. Thay vào mặt cầu $ \left( S \right) $ ta có: $ {{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -2t \right)}^{2}}+{{\left( t \right)}^{2}}=9\Rightarrow 9{{t}^{2}}=9\Rightarrow t=\pm 1$.
Với $t=1$ ta có: $M\left( 3;0;4 \right)\Rightarrow d\left( M,(P) \right)=\dfrac{\left| 2.3-2.0+4+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{13}{3}$.
Với $t=-1$ ta có: $M\left( -1;4;2 \right)\Rightarrow d\left( M,(P) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -1 \right)-2.4+2+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{5}{3}$.
Vậy $M\left( 3;0;4 \right)$ nên $a+b+c=7$.
Ta có: $d\left( I,(P) \right)=\dfrac{\left| 2.1-2.2+3+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{4}{3}<R$ nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.
Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến $\left( P \right)$ lớn nhất thì điểm M thuộc đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm I và vuông góc với $\left( P \right)$.
Phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right. $. Thay vào mặt cầu $ \left( S \right) $ ta có: $ {{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -2t \right)}^{2}}+{{\left( t \right)}^{2}}=9\Rightarrow 9{{t}^{2}}=9\Rightarrow t=\pm 1$.
Với $t=1$ ta có: $M\left( 3;0;4 \right)\Rightarrow d\left( M,(P) \right)=\dfrac{\left| 2.3-2.0+4+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{13}{3}$.
Với $t=-1$ ta có: $M\left( -1;4;2 \right)\Rightarrow d\left( M,(P) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -1 \right)-2.4+2+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{5}{3}$.
Vậy $M\left( 3;0;4 \right)$ nên $a+b+c=7$.
Đáp án D.