Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho $A\left( 1;-1;2 \right)$, $B\left( -2;0;3 \right)$, $C\left( 0;1;-2 \right)$. Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T=12a+12b+2023c$ có giá trị là
A. $T=-1$.
B. $T=3$.
C. $T=-1$.
D. $T=-3$.
A. $T=-1$.
B. $T=3$.
C. $T=-1$.
D. $T=-3$.
Ta có $M\left( a;b;c \right)\in \left( Oxy \right)$ nên $c=0$. Do đó $M\left( a;b;0 \right)$.
$\overrightarrow{MA}=\left( 1-a;-1-b;2 \right)$, $\overrightarrow{MB}=\left( -2-a;-b;3 \right)$, $\overrightarrow{MC}=\left( -a;1-b;-2 \right)$.
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\left( 1-a \right)\left( -2-a \right)+\left( -1-b \right)\left( -b \right)+6={{a}^{2}}+a+{{b}^{2}}+b+4$,
$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=\left( -2-a \right)\left( -a \right)+\left( -b \right)\left( 1-b \right)-6={{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b-6$,
$\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}=\left( -a \right)\left( 1-a \right)+\left( 1-b \right)\left( -1-b \right)-4={{a}^{2}}-a+{{b}^{2}}-5$.
Suy ra
$\begin{aligned}
& S={{a}^{2}}+a+{{b}^{2}}+b+4+2\left( {{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b-6 \right)+3\left( {{a}^{2}}-a+{{b}^{2}}-5 \right) \\
& =6{{a}^{2}}+2a+6{{b}^{2}}-b-23 \\
& =6{{\left( a+\dfrac{1}{6} \right)}^{2}}+6{{\left( b-\dfrac{1}{12} \right)}^{2}}-\dfrac{557}{24} \\
& \ge -\dfrac{557}{24}. \\
\end{aligned}$
Do đó $S$ đạt giá trị nhỏ nhất là $-\dfrac{557}{24}$ khi $a=-\dfrac{1}{6}$ và $b=\dfrac{1}{12}$.
Vậy $T=12a+12b+2023c=-1$.
$\overrightarrow{MA}=\left( 1-a;-1-b;2 \right)$, $\overrightarrow{MB}=\left( -2-a;-b;3 \right)$, $\overrightarrow{MC}=\left( -a;1-b;-2 \right)$.
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\left( 1-a \right)\left( -2-a \right)+\left( -1-b \right)\left( -b \right)+6={{a}^{2}}+a+{{b}^{2}}+b+4$,
$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=\left( -2-a \right)\left( -a \right)+\left( -b \right)\left( 1-b \right)-6={{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b-6$,
$\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}=\left( -a \right)\left( 1-a \right)+\left( 1-b \right)\left( -1-b \right)-4={{a}^{2}}-a+{{b}^{2}}-5$.
Suy ra
$\begin{aligned}
& S={{a}^{2}}+a+{{b}^{2}}+b+4+2\left( {{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b-6 \right)+3\left( {{a}^{2}}-a+{{b}^{2}}-5 \right) \\
& =6{{a}^{2}}+2a+6{{b}^{2}}-b-23 \\
& =6{{\left( a+\dfrac{1}{6} \right)}^{2}}+6{{\left( b-\dfrac{1}{12} \right)}^{2}}-\dfrac{557}{24} \\
& \ge -\dfrac{557}{24}. \\
\end{aligned}$
Do đó $S$ đạt giá trị nhỏ nhất là $-\dfrac{557}{24}$ khi $a=-\dfrac{1}{6}$ và $b=\dfrac{1}{12}$.
Vậy $T=12a+12b+2023c=-1$.
Đáp án A.