Google
Câu hỏi: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+3=0,Q=x+2y-2z-5=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-11=0$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( S \right)$ và $N$ là điểm di động trên $\left( P \right)$ sao cho $MN$ luôn vuông góc với $\left( Q \right)$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng
A. $9+5\sqrt{3}$.
B. 28.
C. 14.
D. $3+5\sqrt{3}$.
A. $9+5\sqrt{3}$.
B. 28.
C. 14.
D. $3+5\sqrt{3}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$, bán kính $R=5;d\left( I,\left( P \right) \right)=3\sqrt{3}$.
$MN$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;-2 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;1 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa $MN$ và mặt phẳng $\left( P \right)\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Ta có $MN=\dfrac{d\left( M,\left( P \right) \right)}{\sin \alpha }=\sqrt{3}.d\left( M,\left( P \right) \right)\le \sqrt{3}.\left[ d\left( I,\left( P \right) \right)+R \right]=9+5\sqrt{3}$.
Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng $9+5\sqrt{3}$.
$MN$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;-2 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;1 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa $MN$ và mặt phẳng $\left( P \right)\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Ta có $MN=\dfrac{d\left( M,\left( P \right) \right)}{\sin \alpha }=\sqrt{3}.d\left( M,\left( P \right) \right)\le \sqrt{3}.\left[ d\left( I,\left( P \right) \right)+R \right]=9+5\sqrt{3}$.
Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng $9+5\sqrt{3}$.
Đáp án A.