Google
Câu hỏi: Trong không gian cho hệ trục Oxyz; lấy các điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$, $D\left( a+a\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}};b\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}};c\sqrt{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)$ với $a,b,c$ dương. Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{3}{2}(\text{dvdt})$ và thể tích tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( ABD \right)$ là $mx+ny+pz+1=0$. Tính $m+n+p$.
A. $-2$.
B. 0.
C. 2.
D. $-1$.
A. $-2$.
B. 0.
C. 2.
D. $-1$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}-1=0.$
Diện tích tam giác $ABC$ bằng $S=\dfrac{\sqrt{{{\left( ab \right)}^{2}}+{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( ca \right)}^{2}}}}{2}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow {{\left( ab \right)}^{2}}+{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( ca \right)}^{2}}=9.$
Thể tích khối tứ diện là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.h\ =\dfrac{h}{2}.$
Với $h=d\left( D,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=abc\dfrac{\left( \sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}{3}$
$V$ lớn nhất khi $h$ lớn nhất
Ta có $abc\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}} \right)}\le \sqrt{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}} \right)}{2}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left[ {{b}^{2}}{{c}^{2}}+\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}} \right)}{2} \right]$ Tuong tự: $abc\sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left[ {{a}^{2}}{{c}^{2}}+\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right)}{2} \right],abc\sqrt{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left[ {{a}^{2}}{{b}^{2}}+\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right)}{2} \right]$
$h\le \dfrac{2\sqrt{2}}{2.3}\left( {{\left( ab \right)}^{2}}+{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( ca \right)}^{2}} \right)=3\sqrt{2}.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[4]{3}.$
Ta có $D\left( \sqrt[4]{3}+\sqrt{6};\sqrt{6};\sqrt{6} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\sqrt{6}\left( 1;1;1 \right),\overrightarrow{AB}=\sqrt[4]{3}\left( -1;1;0 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right]=k\left( 1;1;-2 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABD \right):x+y-2z-\sqrt[4]{3}=0\Rightarrow -\dfrac{x}{\sqrt[4]{3}}-\dfrac{y}{\sqrt[4]{3}}+\dfrac{2z}{\sqrt[4]{3}}+1=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
& n=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
& p=\dfrac{2}{\sqrt[4]{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $m+n+p=0$.
Diện tích tam giác $ABC$ bằng $S=\dfrac{\sqrt{{{\left( ab \right)}^{2}}+{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( ca \right)}^{2}}}}{2}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow {{\left( ab \right)}^{2}}+{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( ca \right)}^{2}}=9.$
Thể tích khối tứ diện là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.h\ =\dfrac{h}{2}.$
Với $h=d\left( D,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=abc\dfrac{\left( \sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}{3}$
$V$ lớn nhất khi $h$ lớn nhất
Ta có $abc\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}} \right)}\le \sqrt{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}} \right)}{2}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left[ {{b}^{2}}{{c}^{2}}+\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}} \right)}{2} \right]$ Tuong tự: $abc\sqrt{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left[ {{a}^{2}}{{c}^{2}}+\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right)}{2} \right],abc\sqrt{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left[ {{a}^{2}}{{b}^{2}}+\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right)}{2} \right]$
$h\le \dfrac{2\sqrt{2}}{2.3}\left( {{\left( ab \right)}^{2}}+{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( ca \right)}^{2}} \right)=3\sqrt{2}.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[4]{3}.$
Ta có $D\left( \sqrt[4]{3}+\sqrt{6};\sqrt{6};\sqrt{6} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\sqrt{6}\left( 1;1;1 \right),\overrightarrow{AB}=\sqrt[4]{3}\left( -1;1;0 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right]=k\left( 1;1;-2 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABD \right):x+y-2z-\sqrt[4]{3}=0\Rightarrow -\dfrac{x}{\sqrt[4]{3}}-\dfrac{y}{\sqrt[4]{3}}+\dfrac{2z}{\sqrt[4]{3}}+1=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
& n=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
& p=\dfrac{2}{\sqrt[4]{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $m+n+p=0$.
Đáp án B.