Google
Câu hỏi: Trên mặt nước, hai nguồn đồng bộ A và B có tần số sóng f = 50 Hz, vận tốc truyền sóng v = 1,5 m/s. Gọi Ax, By là hai nửa đường thẳng trên mặt nước, cùng một phía so với AB và vuông góc với AB. Xét C là điểm trên Ax, B là điểm trên By và điểm M nằm trên AB sao cho MA = 9cm. Cho C di chuyển trên Ax và D di chuyển trên By sao cho MC luôn vuông góc với MD. Khi diện tích của tam giác MCD có giá trị nhỏ nhất và bằng 108 cm2 thì số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên AC là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
$+$ Ta có $\mathrm{AM}=9 \mathrm{~cm} ;$ bước sóng $\lambda=\mathrm{v} / \mathrm{f}=3 \mathrm{~cm}$
Gọi $\mathrm{AC}=\mathrm{x} ; \mathrm{MB}=\mathrm{a} ; \mathrm{DB}=\mathrm{y}$
$+$ Diện tích tam giác MCD: $\mathrm{S}=\dfrac{M C \cdot M D}{2}=\dfrac{\sqrt{9^{2}+x^{2}} \cdot \sqrt{a^{2}+y^{2}}}{2}$
$+$ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: $\dfrac{\sqrt{9^{2}+x^{2}} \cdot \sqrt{a^{2}+y^{2}}}{2} \geq \dfrac{\sqrt{(9 a+x y)^{2}}}{2}=\dfrac{9 a+x y}{2}$
$+$ Ta có $\dfrac{x}{9}=\dfrac{a}{y}\Rightarrow 9 \mathrm{a}=\mathrm{xy}$
$+\mathrm{S}_{\mathrm{MCD} \min }=108 \mathrm{~cm}^{2} \Leftrightarrow 9 \mathrm{a}=\mathrm{xy}=108$ và $\dfrac{9}{a}=\dfrac{x}{y}\Rightarrow \mathrm{a}=12 \mathrm{~cm} ; \mathrm{x}=\mathrm{AC}=9 \mathrm{~cm} ;$
$\mathrm{y}=\mathrm{DB}=12 \mathrm{~cm} ; \mathrm{AB}=21 \mathrm{~cm}$
$\Rightarrow \mathrm{BC}=\sqrt{A C^{2}+A B^{2}}=3 \sqrt{58} \mathrm{~cm}$
$+$ Gọi $\mathrm{N}$ là điểm cực trên $\mathrm{AC}$, thỏa $\operatorname{mã} \mathrm{n} \dfrac{C B-C A}{\lambda} \leq \mathrm{k}+0,5 \leq \dfrac{A B}{\lambda}\Rightarrow 4,11 \leq \mathrm{k} \leq 6,5$
$\Rightarrow \mathrm{k}=5$ và $\mathrm{k}=6$. Có 2 giá trị $\mathrm{k}\Rightarrow $ Trên $\mathrm{AC}$ có 2 điểm cực tiểu
Gọi $\mathrm{AC}=\mathrm{x} ; \mathrm{MB}=\mathrm{a} ; \mathrm{DB}=\mathrm{y}$
$+$ Diện tích tam giác MCD: $\mathrm{S}=\dfrac{M C \cdot M D}{2}=\dfrac{\sqrt{9^{2}+x^{2}} \cdot \sqrt{a^{2}+y^{2}}}{2}$
$+$ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: $\dfrac{\sqrt{9^{2}+x^{2}} \cdot \sqrt{a^{2}+y^{2}}}{2} \geq \dfrac{\sqrt{(9 a+x y)^{2}}}{2}=\dfrac{9 a+x y}{2}$
$+$ Ta có $\dfrac{x}{9}=\dfrac{a}{y}\Rightarrow 9 \mathrm{a}=\mathrm{xy}$
$+\mathrm{S}_{\mathrm{MCD} \min }=108 \mathrm{~cm}^{2} \Leftrightarrow 9 \mathrm{a}=\mathrm{xy}=108$ và $\dfrac{9}{a}=\dfrac{x}{y}\Rightarrow \mathrm{a}=12 \mathrm{~cm} ; \mathrm{x}=\mathrm{AC}=9 \mathrm{~cm} ;$
$\mathrm{y}=\mathrm{DB}=12 \mathrm{~cm} ; \mathrm{AB}=21 \mathrm{~cm}$
$\Rightarrow \mathrm{BC}=\sqrt{A C^{2}+A B^{2}}=3 \sqrt{58} \mathrm{~cm}$
$+$ Gọi $\mathrm{N}$ là điểm cực trên $\mathrm{AC}$, thỏa $\operatorname{mã} \mathrm{n} \dfrac{C B-C A}{\lambda} \leq \mathrm{k}+0,5 \leq \dfrac{A B}{\lambda}\Rightarrow 4,11 \leq \mathrm{k} \leq 6,5$
$\Rightarrow \mathrm{k}=5$ và $\mathrm{k}=6$. Có 2 giá trị $\mathrm{k}\Rightarrow $ Trên $\mathrm{AC}$ có 2 điểm cực tiểu
Đáp án B.