Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\dfrac{2\cos...

Đặt $t=\cos x$ (vì $0<x<\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow \dfrac{1}{2}<t<1$ ).
( ${t}'=-\sin x<0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{3} \right),$ do đó $t=\cos x$ nghịch biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{3} \right)$ ).
Hàm số trở thành $y\left( t \right)=\dfrac{2t+3}{2t-m}\left( t\ne \dfrac{m}{2} \right)$
Ta có: ${y}'\left( t \right)=\dfrac{-2m-6}{{{\left( 2t-m \right)}^{2}}}.$
Do đó yêu cầu toán trở thành $y\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{1}{2};1 \right)$ khi ${y}'\left( t \right)>0,\forall t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right).$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2m-6>0 \\
& 2t-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.,\forall t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<-3 \\
& m\ne 2t \\
\end{aligned} \right.,\forall t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<-3 \\
& m\notin \left( 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<-3.$