Google
Câu hỏi: Phương trình $\left| {{x}^{2}}-2x \right|\left( \left| x \right|-1 \right)=m$ (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Ta có: $f\left( x \right)=\left| {{x}^{2}}-2x \right|\left( \left| x \right|-1 \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( x-1 \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x\left( x\ge 2 \right) \\
& -\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( x-1 \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x\left( 0\le x<2 \right) \\
& \left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( -x-1 \right)=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x\left( x<0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
${f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-6x+2, x\ge 2 \\
& -3{{x}^{2}}+6x-2, 0\le x<2 \\
& -3{{x}^{2}}+2x+2, x<0 \\
\end{aligned} \right..$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3} \\
& x=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3} \\
& x=\dfrac{1-\sqrt{7}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên hàm số $f\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình $f\left( x \right)=m$ có tối đa 4 nghiệm.
& \left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( x-1 \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x\left( x\ge 2 \right) \\
& -\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( x-1 \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x\left( 0\le x<2 \right) \\
& \left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( -x-1 \right)=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x\left( x<0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
${f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-6x+2, x\ge 2 \\
& -3{{x}^{2}}+6x-2, 0\le x<2 \\
& -3{{x}^{2}}+2x+2, x<0 \\
\end{aligned} \right..$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3} \\
& x=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3} \\
& x=\dfrac{1-\sqrt{7}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên hàm số $f\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình $f\left( x \right)=m$ có tối đa 4 nghiệm.
Đáp án B.