Google
Câu hỏi: Một khối đa diện $H$ được tạo thành bằng cách từ một khối lập phương cạnh bằng 3, ta bỏ đi khối lập phương cạnh bằng 1 ở một "góc" của nó như hình vẽ. Gọi $S$ là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa trong $H$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right),\left( BC{C}'{B}' \right)$ và $\left( DC{C}'{D}' \right)$. Tính bán kính của $S$.
A. $\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}$.
B. $3-\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
D. $\sqrt{2}$.
A. $\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}$.
B. $3-\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
D. $\sqrt{2}$.
Gọi $M$ là đỉnh của hình lập phương có cạnh bằng 1 nằm trên đường chéo $A{C}'$ và nằm trên khối còn lại sau khi cắt.
Gọi $I$ là tâm của khối cầu có thể tích lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có $d\left( I,\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right) \right)=d\left( I,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( I,\left( DC{C}'{D}' \right) \right)$.
Suy ra $I$ thuộc đoạn thẳng ${C}'M$ và mặt cầu tâm $I$ cần tìm đi qua điểm $M$.
Đặt $d\left( I,\left( DC{C}'{D}' \right) \right)=a$, ta có $I{C}'=a\sqrt{3}$.
Mà ${C}'A=3\sqrt{3},AM=\sqrt{3}$ nên suy ra $IM=2\sqrt{3}-a\sqrt{3}$.
Ta có $d\left( I,\left( DC{C}'{D}' \right) \right)=IM\Leftrightarrow a=2\sqrt{3}-a\sqrt{3}\Leftrightarrow a=\dfrac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=3-\sqrt{3}$.
Cách khác :
Chọn hệ tọa độ $Oxyz$, sao cho ${C}'\left( 0;0;0 \right),{B}'\left( 0;3;0 \right),{D}'\left( 3;0;0 \right),C\left( 0;0;3 \right)$.
Khi đó $M\left( 2;2;2 \right)$. Ta có phương trình đường thẳng ${C}'M$ là
$\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( t;t;t \right) $ với $ 2>t>0 $ do $ I $ thuộc đoạn thẳng $ {C}'M$.
Ta có $d\left( I,\left( Oyz \right) \right)=IM\Leftrightarrow \left| t \right|=\sqrt{3{{\left( t-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow t=\left( 2-t \right)\sqrt{3}\Leftrightarrow t=3-\sqrt{3}$
Suy ra $R=IM=3-\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là tâm của khối cầu có thể tích lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có $d\left( I,\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right) \right)=d\left( I,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( I,\left( DC{C}'{D}' \right) \right)$.
Suy ra $I$ thuộc đoạn thẳng ${C}'M$ và mặt cầu tâm $I$ cần tìm đi qua điểm $M$.
Đặt $d\left( I,\left( DC{C}'{D}' \right) \right)=a$, ta có $I{C}'=a\sqrt{3}$.
Mà ${C}'A=3\sqrt{3},AM=\sqrt{3}$ nên suy ra $IM=2\sqrt{3}-a\sqrt{3}$.
Ta có $d\left( I,\left( DC{C}'{D}' \right) \right)=IM\Leftrightarrow a=2\sqrt{3}-a\sqrt{3}\Leftrightarrow a=\dfrac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=3-\sqrt{3}$.
Cách khác :
Chọn hệ tọa độ $Oxyz$, sao cho ${C}'\left( 0;0;0 \right),{B}'\left( 0;3;0 \right),{D}'\left( 3;0;0 \right),C\left( 0;0;3 \right)$.
Khi đó $M\left( 2;2;2 \right)$. Ta có phương trình đường thẳng ${C}'M$ là
$\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( t;t;t \right) $ với $ 2>t>0 $ do $ I $ thuộc đoạn thẳng $ {C}'M$.
Ta có $d\left( I,\left( Oyz \right) \right)=IM\Leftrightarrow \left| t \right|=\sqrt{3{{\left( t-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow t=\left( 2-t \right)\sqrt{3}\Leftrightarrow t=3-\sqrt{3}$
Suy ra $R=IM=3-\sqrt{3}$.
Đáp án B.