Câu hỏi: Mạch nối tiếp theo thứ tự gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều có điện áp hiệu dụng U = 50 V không đổi nhưng tần số thay đổi được. Khi tần số f = f1 thì đồ thị điện áp hai đầu đoạn mạch R, L và RC cho như hình. Khi tần số f = f2 thì điện áp hiệu dụng hai đầu Uc đạt giá trị cực đại bằng bao nhiêu?
A. 50,45 V.
B. 60,45 V.
C. 55,45 V.
D. 65,45 V.
A. 50,45 V.
B. 60,45 V.
C. 55,45 V.
D. 65,45 V.
Xét đồ thị tại $t=0$
${{u}_{RL}}\left\{ \begin{matrix}
{{U}_{0RL}}=\sqrt{6}\cdot x \\
{{\varphi }_{uRL}}=0 \\
\end{matrix} \right.$
${{u}_{RC}}\left\{ \begin{matrix}
{{U}_{0RC}}=2x \\
{{\varphi }_{uRC}}=-\dfrac{5\pi }{12} \\
\end{matrix} \right.$
Dựa trên giản đồ vector Fresnel :
+ Định lý hàm cos: ${{\left( {{U}_{L}}+{{U}_{C}} \right)}^{2}}=U_{RL}^{2}+U_{RC}^{2}-2{{U}_{RL}}{{U}_{RC}}\cos \left( \dfrac{5\pi }{12} \right)$
$\Rightarrow {{\text{U}}_{\text{L}}}+{{\text{U}}_{\text{C}}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$
$+\text{S}=\dfrac{1}{2}*\sqrt{6}*2*\sin \left( \dfrac{5\pi }{12} \right)=\dfrac{1}{2}*{{\text{U}}_{\text{R}}}\left( {{\text{U}}_{\text{L}}}+{{\text{U}}_{\text{C}}} \right)$
$\Rightarrow {{\text{U}}_{\text{R}}}=\sqrt{3},{{\text{U}}_{\text{L}}}=\sqrt{3},{{\text{U}}_{\text{C}}}=1$
$\Rightarrow {{Z}_{L}}=\text{R},{{Z}_{C}}=\dfrac{\text{R}}{\sqrt{3}}\Rightarrow {{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=\dfrac{{{\text{R}}^{2}}}{\sqrt{3}}\Rightarrow \dfrac{{{\text{R}}^{2}}\text{C}}{2~\text{L}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
+ Khi ${{\omega }_{2}}$ thì ${{\text{U}}_{\text{cmax}}}\Rightarrow {{\left( \dfrac{\text{U}}{{{\text{U}}_{\text{Cmax}}}} \right)}^{2}}=1-{{\left( 1-\dfrac{{{\text{R}}^{2}}\text{C}}{2~\text{L}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{\text{U}}_{\text{cmax}}}=\dfrac{\text{U}}{\sqrt{1-{{\left( 1-\dfrac{{{\text{R}}^{2}}\text{C}}{2~\text{L}} \right)}^{2}}}}=50,45(~\text{V})$
P/s: Cách thành lập công thức:
Ta có ${{U}_{C}}=I.{{Z}_{C}}=\dfrac{U{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\Rightarrow U_{C}^{2}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{\left( \dfrac{{{Z}_{L}}}{{{Z}_{C}}} \right)}^{2}}-2\dfrac{{{Z}_{{{L}_{L}}}}}{{{Z}_{C}}}{{\left( \dfrac{R}{{{Z}_{C}}} \right)}^{2}}+1}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{4}}-2\left( 1\dfrac{C{{R}^{2}}}{2L} \right){{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{2}}+1}$
Với ${{\omega }_{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$
Đặt $n=1-\dfrac{C{{R}^{2}}}{2L}\Rightarrow U_{C}^{2}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{4}}-2n{{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{2}}+1}$
$\Rightarrow U_{C\max }^{2}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{2}}=n$ và (Mẫu số) $\min =-\dfrac{\Delta }{4a}=-\dfrac{4{{n}^{2}}-4}{4}=1-{{n}^{2}}$
Vậy $U_{Cmax}^{2}=\dfrac{{{U}^{2}}}{1-{{n}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{1-{{\left( 1-\dfrac{C{{R}^{2}}}{2L} \right)}^{2}}}$
${{u}_{RL}}\left\{ \begin{matrix}
{{U}_{0RL}}=\sqrt{6}\cdot x \\
{{\varphi }_{uRL}}=0 \\
\end{matrix} \right.$
${{u}_{RC}}\left\{ \begin{matrix}
{{U}_{0RC}}=2x \\
{{\varphi }_{uRC}}=-\dfrac{5\pi }{12} \\
\end{matrix} \right.$
Dựa trên giản đồ vector Fresnel :
+ Định lý hàm cos: ${{\left( {{U}_{L}}+{{U}_{C}} \right)}^{2}}=U_{RL}^{2}+U_{RC}^{2}-2{{U}_{RL}}{{U}_{RC}}\cos \left( \dfrac{5\pi }{12} \right)$
$\Rightarrow {{\text{U}}_{\text{L}}}+{{\text{U}}_{\text{C}}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$
$+\text{S}=\dfrac{1}{2}*\sqrt{6}*2*\sin \left( \dfrac{5\pi }{12} \right)=\dfrac{1}{2}*{{\text{U}}_{\text{R}}}\left( {{\text{U}}_{\text{L}}}+{{\text{U}}_{\text{C}}} \right)$
$\Rightarrow {{\text{U}}_{\text{R}}}=\sqrt{3},{{\text{U}}_{\text{L}}}=\sqrt{3},{{\text{U}}_{\text{C}}}=1$
$\Rightarrow {{Z}_{L}}=\text{R},{{Z}_{C}}=\dfrac{\text{R}}{\sqrt{3}}\Rightarrow {{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=\dfrac{{{\text{R}}^{2}}}{\sqrt{3}}\Rightarrow \dfrac{{{\text{R}}^{2}}\text{C}}{2~\text{L}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
+ Khi ${{\omega }_{2}}$ thì ${{\text{U}}_{\text{cmax}}}\Rightarrow {{\left( \dfrac{\text{U}}{{{\text{U}}_{\text{Cmax}}}} \right)}^{2}}=1-{{\left( 1-\dfrac{{{\text{R}}^{2}}\text{C}}{2~\text{L}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{\text{U}}_{\text{cmax}}}=\dfrac{\text{U}}{\sqrt{1-{{\left( 1-\dfrac{{{\text{R}}^{2}}\text{C}}{2~\text{L}} \right)}^{2}}}}=50,45(~\text{V})$
P/s: Cách thành lập công thức:
Ta có ${{U}_{C}}=I.{{Z}_{C}}=\dfrac{U{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\Rightarrow U_{C}^{2}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{\left( \dfrac{{{Z}_{L}}}{{{Z}_{C}}} \right)}^{2}}-2\dfrac{{{Z}_{{{L}_{L}}}}}{{{Z}_{C}}}{{\left( \dfrac{R}{{{Z}_{C}}} \right)}^{2}}+1}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{4}}-2\left( 1\dfrac{C{{R}^{2}}}{2L} \right){{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{2}}+1}$
Với ${{\omega }_{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$
Đặt $n=1-\dfrac{C{{R}^{2}}}{2L}\Rightarrow U_{C}^{2}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{4}}-2n{{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{2}}+1}$
$\Rightarrow U_{C\max }^{2}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\omega }{{{\omega }_{0}}} \right)}^{2}}=n$ và (Mẫu số) $\min =-\dfrac{\Delta }{4a}=-\dfrac{4{{n}^{2}}-4}{4}=1-{{n}^{2}}$
Vậy $U_{Cmax}^{2}=\dfrac{{{U}^{2}}}{1-{{n}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{1-{{\left( 1-\dfrac{C{{R}^{2}}}{2L} \right)}^{2}}}$
Đáp án A.