The Collectors

Lý thuyết lũy thừa

Câu hỏi: I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Định nghĩa
Cho $n$ là một số nguyên dương.
Với $a$ là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$.
${a^n} = a.a.a.....a$ ( $n$ thừa số $a$ )
Với $a \ne 0$ thì ${a^0} = 1,{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$.
Chú ý
${0^n}$ và ${0^{ - n}}$ không có nghĩa.
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
2. Căn bậc $n$
a) Định nghĩa
Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${a^n} = b$.
b) Chú ý
+) Với $n$ lẻ và $b \in \mathbb{R}$ thì có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$.
+) Với $n$ chẵn và:
$b < 0$ thì không tồn tại căn bậc $n$ của $b$.
$b = 0$ thì có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$ là số $0$.
$b > 0$ thì có hai căn trái dấu, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$ và $ - \sqrt[n]{b}$.
c) Tính chất
$\begin{array}{l}\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\\\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}}\\{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\\\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{array}{l}a, khi n \text{lẻ}\\\left| a \right|, khi n \text{chẵn}\end{array} \right.\\\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}\end{array}$
Ví dụ
$\sqrt[3]{{ - 4}}.\sqrt[3]{{54}} = \sqrt[3]{{\left( { - 4} \right).54}} = \sqrt[3]{{ - 216}} =  - 6$
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r = \dfrac{m}{n}$, trong đó $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$. Lũy thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số ${a^r}$ xác định bởi
${a^r} = {a^{\dfrac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$
Chú ý: ${a^{\dfrac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$
Ví dụ:
${16^{ - \dfrac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{16}^{ - 3}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{16}^3}}}}}$ $ = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[4]{{16}}} \right)}^3}}} = \dfrac{1}{{{2^3}}} = \dfrac{1}{8}$
II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho $a,b$ là những số thực dương; $\alpha ,\beta $ là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:
$\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }}\\\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha  - \beta }}\\{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\\{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }{b^\alpha }\\{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\end{array}$
Nếu $a > 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta $.
Nếu $a < 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  < \beta $.
Ví dụ:
Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2  + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  - 1}}} \right)}^{\sqrt 3  + 1}}}}$
Ta có:
$\begin{array}{l}A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2  + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  - 1}}} \right)}^{\sqrt 3  + 1}}}}\\ = \dfrac{{{a^{\sqrt 2  + 1 + 3 - \sqrt 2 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}}}\\ = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2}}}\\ = {a^2}\end{array}$
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!
 

Quảng cáo

Back
Top