Độ nén lớn nhất của lò xo

kenlovejen

Active Member
Bài toán
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng 0.02 kg va lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo.Coi hệ số ma sát nghỉ cực đại và hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ đều bằng 0.1. Ban đầu vật đứng yên trên giá sau đó cung cấp cho vật một vận tốc v=0.8 m/s dọc theo trục lò xo,con lắc dao động tắt dần. Độ nén lớn nhất của lò xo có thể đạt được trong quá trình vật giao động là?
A. 20cm
B. 12cm
C. 8cm
D. 10cm
P/s Mình làm ra 9,48 .
 
Đoạn nén khi mà vật đẩy từ "đúng" vị trí cân bằng là 9,48cm. Nhưng mà do ma sát nên có nguyên 1 đoạn cân bằng. Đề bài chỉ nói vật đứng yên trên giá thôi nên phải là 9,48(cộng-trừ)2(cm). Vậy thì giá trị lớn nhất là 12cm mới đúng.
 

vietpro213tb

Well-Known Member
Bài toán
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng 0.02 kg va lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo.Coi hệ số ma sát nghỉ cực đại và hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ đều bằng 0.1. Ban đầu vật đứng yên trên giá sau đó cung cấp cho vật một vận tốc v=0.8 m/s dọc theo trục lò xo,con lắc dao động tắt dần. Độ nén lớn nhất của lò xo có thể đạt được trong quá trình vật giao động là?
A. 20cm
B. 12cm
C. 8cm
D. 10cm
P/s Mình làm ra 9,48 .

Ta gọi $x$ là độ nén lớn nhất của lò xo, $x_0$ là li độ ban đầu
Giả thiết cho là: Lúc đầu vật đứng yên. Do đó điều kiện cần để vật đứng yên mà không bị chuyển động do ma sát là:
$$|x_0| \leq \dfrac{\mu m g}{k}$$
Hay $$-0,02 \leq x_0 \leq 0,02$$

Giả thiết cho ta:
$$\dfrac{mv_0^2}{2}+\dfrac{k x_0^2}{2}=\mu m g (x+x_0)+\dfrac{k x^2}{2}$$
Giải phương trình, với điều kiện là $x$ nhỏ nhất có thể:
$$x=-\dfrac{1+\sqrt{2500x_0^2-100x_0+33}}{50}$$
Khảo sát hàm VP với $-0,02 \leq x_0 \leq 0,02$ ta được:
$$x_{\min}=\min \left\{ \left . x \right|_{x_0=-0,02};\left . x \right|_{x_0=0,02} \right \}$$
(với lưu ý: hàm VP là hàm lồi)
Từ đó ta được $x_{\min}=-0,14$ khi và chỉ khi $x_0=-0,02$
Do đó, độ nén cực đại của lò xo là:
$$A=|x-x_0|=0,12\;m$$
Vậy đán án chuẩn xác là B.

(không làm tròn một tẹo nào)
______________
P/s: Thuần túy toán học
 

hoangmac

Well-Known Member
Ta gọi $x$ là độ nén lớn nhất của lò xo, $x_0$ là li độ ban đầu
Giả thiết cho là: Lúc đầu vật đứng yên. Do đó điều kiện cần để vật đứng yên mà không bị chuyển động do ma sát là:
$$|x_0| \leq \dfrac{\mu m g}{k}$$
Hay$$-0,02 \leq x_0 \leq 0,02$$

Giả thiết cho ta:
$$\dfrac{mv_0^2}{2}+\dfrac{k x_0^2}{2}=\mu m g \left(x+x_0\right)+\dfrac{k x^2}{2}$$
Giải phương trình, với điều kiện là $x$ nhỏ nhất có thể:
$$x=-\dfrac{1+\sqrt{2500x_0^2-100x_0+33}}{50}$$
Khảo sát hàm VP với $-0,02 \leq x_0 \leq 0,02$ ta được:
$$x_{\min}=\min \left\{ \left . x \right|_{x_0=-0,02};\left . x \right|_{x_0=0,02} \right \}$$
(với lưu ý: hàm VP là hàm lồi)
Từ đó ta được $x_{\min}=-0,14$ khi và chỉ khi $x_0=-0,02$
Do đó, độ nén cực đại của lò xo là:
$$A=|x-x_0|=0,12\;m$$
Vậy đán án chuẩn xác là B.

(không làm tròn một tẹo nào)
______________
P/s: Thuần túy toán học

Lời giải
Ta bảo toàn năng lượng tại hai thời điểm khi vật mới được cung cấp vận tốc và thời điểm lò xo nén cực đại
$$W_đ=W_t+A_{ms}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}kA^2+\mu mgA$$
$$\Leftrightarrow 0,5A^2+0,02A-6,4.10^{-3}=0$$

$$\Leftrightarrow A\approx 0,0949\approx 0,1m=10cm$$

Lời Giải:
Chọn mốc thế năng tại vị trí lò xo không biến dạng.
Khi vật đang đứng yên, ta chọn đó là vị trí $x=\dfrac{\mu mg}{k}=0,02\left(m\right)$
Ta có: $\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{kA^2}{2}+\mu mg\left(A-x\right)$
Thay số giải phương trình được $A=10\left(cm\right)$
Đáp án D
P/s:Đáp án ra $10cm$ không làm tròn
Đánh giá 3 lời giải trên cho bài toán này!
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:

hongmieu

Well-Known Member
Ồ, cách của bạn vietpro213tb mình thấy đúng lắm. Đề nói là Ban đầu vật đứng yên trên giá thì có nghĩa là $-x_o\leq x\leq x_o$. Mình không để ý kĩ nên đã ngộ nhận $x=0$ luôn. Mình chỉ có hai thắc mắc muốn hỏi bạn Việt để cho rõ hơn là
  • Bạn gọi $x$ là độ nén lớn nhất của lò xo thì $x$ phải dương chứ
  • Chúng ta cần tìm $x_{max}$ chứ nhỉ
Còn cách giải của bạn hoangmac mình thấy vẫn chưa được chặt chẽ cho lắm. Tuy mình nghĩ đáp án là 10cm thật

Đó chỉ là ý kiến cá nhân của mình để mọi người cùng tham khảo và xây dựng nên lời giải đúng nhất cho bải toán thôi nhé
P/s: Bài này mình nhớ không nhầm là đề HSG tỉnh Thái Bình năm nay. Đúng là đẳng cấp HSG!
 

hoangmac

Well-Known Member
Ta gọi $x$ là độ nén lớn nhất của lò xo, $x_0$ là li độ ban đầu
Giả thiết cho là: Lúc đầu vật đứng yên. Do đó điều kiện cần để vật đứng yên mà không bị chuyển động do ma sát là:
$$|x_0| \leq \dfrac{\mu m g}{k}$$
Hay $$-0,02 \leq x_0 \leq 0,02$$

Giả thiết cho ta:
$$\dfrac{mv_0^2}{2}+\dfrac{k x_0^2}{2}=\mu m g \left(x+x_0\right)+\dfrac{k x^2}{2}$$
Giải phương trình, với điều kiện là $x$ nhỏ nhất có thể:
$$x=-\dfrac{1+\sqrt{2500x_0^2-100x_0+33}}{50}$$
Khảo sát hàm VP với $-0,02 \leq x_0 \leq 0,02$ ta được:
$$x_{\min}=\min \left\{ \left . x \right|_{x_0=-0,02};\left . x \right|_{x_0=0,02} \right \}$$
(với lưu ý: hàm VP là hàm lồi)
Từ đó ta được $x_{\min}=-0,14$ khi và chỉ khi $x_0=-0,02$
Do đó, độ nén cực đại của lò xo là:
$$A=|x-x_0|=0,12\;m$$
Vậy đán án chuẩn xác là B.

(không làm tròn một tẹo nào)
______________
P/s: Thuần túy toán học

Một lời giải rất hay về mặt toán học, chưa tìm được lỗi sai ở đâu nhưng kết quả có lẽ đã sai. Có thể thấy với độ nén cực đại là $12cm$ thì cơ năng lúc sau còn $\geq$ cơ năng ban đầu $\rightarrow$ $F_{ms}$ sinh công dương???
 

Quảng cáo

Top